Ваш вопросКак найти неизвестный член в равенстве двух отношений?
Что получитеТочная дробь, смешанное число и десятичная запись
Калькулятор пропорций12 работающих инструментов
Числа и школьная математика
Находите члены и суммы прогрессий, считайте факториал и комбинаторику, извлекайте корни, переводите римские числа, находите среднее, медиану, моду и размах, решайте пропорции, находите НОД, НОК, множители и степени, переводите числа между системами счисления. В решении видно происхождение каждого результата.
Сначала назовите вопрос, а не математический термин.Нужно найти x — выбирайте пропорции. В ряду одинаково прибавляют — арифметическая прогрессия; одинаково умножают — геометрическая. Ищете число, которое в степени даёт исходное, — выбирайте корни. Видите I, V, X, L, C, D, M — выбирайте римские цифры.
Двенадцать завершённых инструментов без заглушекЦелые числа и дроби без скрытого округленияКаждый x, остаток, множитель и степень объяснены
Выберите свою задачу
Здесь нет общей формы на все случаи. Каждая карточка отвечает на один самостоятельный вопрос и ведёт на страницу с подходящими полями и объяснением.
Три известных числа и одно положение xКалькулятор пропорций
Перемножает крайние и средние члены, сокращает точную дробь и показывает решение для любой из четырёх позиций x.
- Получите
- Точная дробь, смешанное число и десятичная запись
- Проверка
- Оба отношения и оба произведения крест-накрест совпадают
Сохраняет все повторения, сортирует ряд, считает точную сумму, среднее, медиану, все моды, минимум, максимум и размах.
- Получите
- Четыре показателя, сортировка и таблица частот
- Проверка
- Среднее возвращает сумму, а минимум с размахом — максимум
Восстанавливает a₁ и d по достаточным данным, показывает начало ряда и считает Sₙ двумя равными формулами.
- Получите
- Первый и n-й члены, разность, ряд и точная сумма
- Проверка
- Соседние разности равны, а три способа подсчёта суммы совпадают
Восстанавливает a₁ и q по достаточным данным, показывает степени и члены ряда и считает конечную сумму двумя способами.
- Получите
- Первый и n-й члены, знаменатель, ряд и точная сумма
- Проверка
- Соседние умножения, формула члена и прямое сложение совпадают
Объясняет роль порядка, раскрывает и сокращает факториалы, считает каждый оставшийся множитель точной BigInt-арифметикой.
- Получите
- n!, P(n), A(n,k) или C(n,k) и все действия
- Проверка
- Размещение равно сочетанию × k!, а сочетания симметричны
Раскладывает модуль числа на простые множители, собирает полные группы, выносит коэффициент и отдельно показывает точный радикал и десятичное приближение.
- Получите
- Точный корень или упрощённый радикал, интервал и приближение
- Проверка
- Обратное возведение в степень точно восстанавливает подкоренное число
Раскладывает число на разряды, объясняет каждый знак и вычитательную пару, а неканоническую запись отклоняет повторным кодированием.
- Получите
- Каноническая пара, таблицы разрядов и токенов
- Проверка
- Обратный перевод и повторная запись возвращают исходное число
Находит наибольший общий делитель разложением на простые множители и алгоритмом Евклида.
- Получите
- НОД и два подробных способа решения
- Проверка
- Каждое исходное число делится на найденный НОД без остатка
Собирает наименьшее общее кратное из простых множителей и независимо проверяет ответ через НОД.
- Получите
- НОК, множители и связь с НОД
- Проверка
- Найденное НОК делится на каждое исходное число без остатка
Последовательно делит число на 2, 3, 5 и следующие простые делители, не пропуская ни одного успешного деления.
- Получите
- Полное произведение и короткая запись со степенями
- Проверка
- Все найденные множители перемножаются обратно в исходное число
Раскрывает степень в произведение, определяет знак и показывает каждое последовательное умножение.
- Получите
- Точная целая или дробная степень и персональная таблица
- Проверка
- Последнее действие проверяется делением на основание
Раскладывает исходную запись по разрядам, затем делит десятичное значение на новое основание с остатками.
- Получите
- Точная запись в новой системе и все промежуточные действия
- Проверка
- Обе записи возвращаются к одному десятичному значению
Выбор простыми словами
Сравните свой вопрос с первой колонкой. Во второй колонке показано, что именно делает калькулятор, а кнопка ведёт к готовому расчёту.
Ваш вопросКак описать центр, частые значения и ширину числового списка?
Что получитеЧетыре показателя, сортировка и таблица частот
Среднее, медиана, мода и размахВаш вопросКак найти разность, n-й член и сумму последовательности с одинаковым шагом?
Что получитеПервый и n-й члены, разность, ряд и точная сумма
Арифметическая прогрессияВаш вопросКак найти знаменатель, n-й член и сумму последовательности с одинаковым множителем?
Что получитеПервый и n-й члены, знаменатель, ряд и точная сумма
Геометрическая прогрессияВаш вопросСколько существует перестановок, размещений или сочетаний без повторений?
Что получитеn!, P(n), A(n,k) или C(n,k) и все действия
Факториал и комбинаторикаВаш вопросКак извлечь квадратный, кубический или корень n-й степени и упростить радикал?
Что получитеТочный корень или упрощённый радикал, интервал и приближение
Калькулятор корнейВаш вопросКак перевести арабское число в римскую запись или прочитать римские цифры?
Что получитеКаноническая пара, таблицы разрядов и токенов
Римские цифрыВаш вопросКакое самое большое число делит все исходные числа без остатка?
Что получитеНОД и два подробных способа решения
Калькулятор НОДВаш вопросКакое самое маленькое положительное число делится на все исходные числа?
Что получитеНОК, множители и связь с НОД
Калькулятор НОКВаш вопросИз каких простых чисел можно собрать исходное число умножением?
Что получитеПолное произведение и короткая запись со степенями
Разложение на простые множителиВаш вопросЧто получится, если взять число множителем указанное количество раз?
Что получитеТочная целая или дробная степень и персональная таблица
Калькулятор степенейВаш вопросКак записать то же значение цифрами другой системы счисления?
Что получитеТочная запись в новой системе и все промежуточные действия
Перевод систем счисленияГлавная идея каждого метода
Формула — это короткая запись последовательности действий. Под ней объяснено, что означает каждый переход.
Пропорция
a/b = c/d ⇔ a × d = b × c
Произведение крайних членов равно произведению средних. После подстановки неизвестный остаётся один.Среднее и размах
среднее = сумма ÷ количество; размах = max − min
Для медианы сортируем ряд, а для моды отдельно считаем частоту каждого точного значения.Арифметическая прогрессия
aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
Разность d одинакова между соседними членами, а две формулы суммы обязаны дать один точный ответ.Геометрическая прогрессия
aₙ = a₁qn−1; при q ≠ 1: Sₙ = a₁(1 − qⁿ) ÷ (1 − q)
Каждый следующий член получают умножением на q. При q = 1 сумму считаем отдельно: Sₙ = n × a₁.Факториал и комбинаторика
P(n) = n!; A(n,k) = n!/(n−k)!; C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
Перестановка берёт все объекты, размещение учитывает порядок выбранных k, а сочетание оставляет каждый набор один раз.Корень n-й степени
если a = bn × c, то n√a = b × n√c
Каждая полная группа из n одинаковых простых множителей даёт один множитель перед корнем. Остаток остаётся под корнем.Римская запись
1994 = 1000 + 900 + 90 + 4 = M + CM + XC + IV
Переводим тысячи, сотни, десятки и единицы отдельно; пары IV, IX, XL, XC, CD, CM читаем как один токен.НОД: алгоритм Евклида
НОД(a, b) = НОД(b, остаток от a ÷ b)
Заменяем пару чисел делителем и остатком. Последний ненулевой остаток становится НОД.НОК через НОД
НОК(a, b) = a ÷ НОД(a, b) × b
Сначала делим на НОД, затем умножаем. Так не создаём лишнее большое промежуточное число.Простые множители
n = p1k₁ × p2k₂ × …
Каждое p — простое число, а верхний показатель сообщает, сколько раз этот множитель повторяется.Положительная степень
an = a × a × … × a
Справа должно быть ровно n одинаковых множителей. Показатель не умножают на основание.Значение записи в системе b
dk × bk + … + d1 × b + d0
Цифру каждого разряда умножаем на основание в степени позиции и складываем вклады.Не перепутайте направление действия
Похожие слова описывают разные отношения между числами. Эта таблица показывает, где находится искомое число и как проверить ответ.
| Задача | Что известно | Что ищем | Главное действие | Обратная проверка |
|---|---|---|---|---|
| Пропорция | Три известных члена и одно положение x | Четвёртый член равенства отношений | Произведение крест-накрест и одно деление | Отношения и оба произведения совпадают |
| Арифметическая прогрессия | Достаточные члены, их номера и иногда d | a₁, d, aₙ и сумму Sₙ | Одинаковый шаг и формула n-го члена | Разности и три суммы совпадают |
| Геометрическая прогрессия | Достаточные члены, их номера и иногда q | a₁, q, aₙ и конечную сумму Sₙ | Одинаковое умножение и степень n − 1 | Соседние умножения и две суммы совпадают |
| Комбинаторика | n, иногда k, и правило о порядке | Количество способов выбора или расстановки | Сокращение факториалов и точное произведение | A(n,k) = C(n,k) × k! |
| Корень | Целое подкоренное число и степень n | Точное значение или упрощённый радикал | Группировка простых множителей по n | Ответ в степени n даёт исходное число |
| Римские цифры | Целое 1–3999 или каноническая римская запись | Другую запись того же целого | Разряды и токены с шестью вычитательными парами | Обратный перевод и повторная запись совпадают |
| НОД | Несколько положительных целых чисел | Самый большой общий делитель | Деление с остатком или общие простые множители | Все числа делятся на ответ |
| НОК | Несколько положительных целых чисел | Самое маленькое общее кратное | Наибольшие степени всех простых множителей | Ответ делится на все числа |
| Разложение | Одно или несколько положительных целых чисел | Простые множители каждого числа | Последовательное деление на простые числа | Множители дают исходное число |
| Степень | Основание и целый показатель | Результат повторного умножения | Умножение основания само на себя | Последний результат делится на основание |
| Система счисления | Запись, исходное и новое основания | Другую запись того же значения | Разряды и деление с остатками | Обе записи дают одно десятичное значение |
Как читать подробное решение
Во всех двенадцати инструментах действует один учебный принцип: ни одно новое число не появляется без объяснения.
1. Называем исходные данные
Перед вычислением отдельно подписываем числа, основание системы или показатель степени. Так видно, к чему относится каждое действие.
2. Одно действие — одна строка
Деление, остаток, найденный множитель или новое произведение показываются по порядку. Следующая строка использует результат предыдущей.
3. Сохраняем точное значение
Целые числа, остатки и обыкновенные дроби не заменяются приблизительной десятичной записью. Округление не скрывает ошибку.
4. Возвращаемся к началу
В конце выполняется обратная проверка: деление, умножение или повторный перевод должны восстановить исходные данные.
Особые случаи, которые нельзя пропускать
Это не исключения «для учителя», а условия, от которых меняется сам смысл ответа.
| Случай | Правильное объяснение | Что нельзя делать |
|---|---|---|
| Ноль в пропорции | Числитель может быть нулём, но оба знаменателя обязаны быть ненулевыми | Делить на ноль или принимать нулевой знаменатель |
| Одинаковые частоты | Если все значения уникальны, моды нет; если максимум частоты общий, мод несколько | Удалять повторы или выбирать только одну из нескольких мод |
| Разность d = 0 | Все члены равны, но последовательность остаётся арифметической прогрессией | Считать нулевую разность ошибкой или делить на d |
| q = 1 или q² = 16 | При q = 1 сумма равна n × a₁; при восстановлении q из q² = 16 отдельно выбирают q = 4 или q = −4 | Делить на 1 − q или скрывать второй возможный знак q |
| Отрицательное под корнем | Нечётный корень существует и сохраняет минус; чётный корень не имеет действительного значения | Показывать действительный ответ для чётного корня из отрицательного числа |
| 0! и пустой выбор | 0! = P(0) = A(n,0) = C(n,0) = 1: пустой вариант существует один | Считать пустой выбор невозможным или приравнивать его к нулю |
| Число 1 | Единица не простая и не составная; у неё нет простых множителей | Записывать 1 как простой множитель |
| Нулевая степень | Любое ненулевое основание в степени 0 равно 1 | Подменять отдельный случай 0⁰ обычным правилом |
| Отрицательная степень | Результат становится обратной дробью: a−n = 1/an | Просто ставить минус перед ответом |
| Буквы A–Z | В системах счисления они обозначают цифры со значениями 10–35 | Считать их неизвестными переменными |
| Римский ноль и IC | Отдельного знака нуля нет; 99 записывается XCIX по разрядам | Использовать N как ноль или перескакивать от I сразу к C |
| Ведущий минус | Минус сохраняется перед всей записью числа | Включать минус в значение отдельной цифры |
Частые вопросы
Как выбрать нужный калькулятор?
Сформулируйте, что ищете. Неизвестный член равенства отношений ведёт к пропорциям; центр и частоты списка — к средним показателям; последовательность — к прогрессиям; число способов выбрать или расставить объекты — к комбинаторике; общий делитель — к НОД; повторное умножение — к степени; новая запись значения — к системам счисления.
Чем среднее отличается от медианы и моды?
Среднее использует сумму всех чисел, медиана берётся из середины отсортированного ряда, а мода показывает наиболее частое значение. Они отвечают на разные вопросы и могут не совпадать.
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
В арифметической прогрессии одинаковы соседние разности: из следующего члена вычитают предыдущий. В геометрической одинаково умножение на q: следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число.
Как отличить перестановки, размещения и сочетания?
В перестановке используются все n объектов и важен порядок. В размещении выбирают k из n и порядок важен. В сочетании выбирают k из n, но порядок не важен.
Когда корень можно извлечь точно?
Корень становится целым числом, если показатель каждого простого множителя делится на степень корня без остатка. Если полной группы не хватает, остаток сохраняют под знаком корня.
Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?
В действительных числах можно извлекать из отрицательного числа только корень нечётной степени. Например, кубический корень из −8 равен −2. Корень чётной степени из отрицательного числа действительного значения не имеет.
Как перевести арабское число в римское?
Разделите число на тысячи, сотни, десятки и единицы, замените каждый ненулевой разряд каноническим фрагментом и соедините их слева направо. Например, 1994 = M + CM + XC + IV = MCMXCIV.
Какие вычитательные пары разрешены в римских числах?
Только IV, IX, XL, XC, CD и CM. Другие перестановки вроде IC или VX не являются канонической школьной записью.
Как проверить решение пропорции?
После подстановки x оба отношения должны совпасть. Дополнительно произведение крайних членов должно быть точно равно произведению средних.
Чем НОД отличается от НОК?
НОД сам делит каждое исходное число. НОК, наоборот, само делится на каждое исходное число. Поэтому НОД обычно не больше исходных чисел, а НОК обычно не меньше их.
Как связаны НОД и НОК?
Для двух положительных целых чисел произведение НОД и НОК равно произведению исходных чисел. Поэтому НОК можно найти как первое число, делённое на НОД, а затем умноженное на второе.
Зачем раскладывать числа на простые множители?
Простые множители показывают внутренний состав числа. По ним удобно находить НОД, НОК, сокращать дроби и проверять делимость.
Является ли 1 простым числом?
Нет. У простого числа ровно два положительных делителя: 1 и оно само. У единицы только один положительный делитель, поэтому её разложение не содержит простых множителей.
Что означает показатель степени?
Положительный показатель показывает количество одинаковых множителей. Например, 3 в четвёртой степени — это 3 × 3 × 3 × 3, а не 3 × 4.
Что происходит при отрицательной степени?
Сначала считают степень с положительным показателем, затем берут обратное число. Например, 2 в степени −3 равно 1 делить на 2 в третьей степени, то есть 1/8.
Почему в системах счисления используются буквы?
После цифры 9 нужны дополнительные знаки. В основаниях до 36 буквы A–Z обозначают значения от 10 до 35.
Меняется ли число при переводе в другую систему счисления?
Нет. Меняется только его запись. Как слово можно записать разными шрифтами, так одно значение можно записать цифрами разных систем; обратная проверка должна дать то же десятичное число.
Все вычисления выполняются точно
Инструменты работают с целыми числами и точными рациональными дробями. Если действие невозможно или не имеет однозначного значения, страница объясняет причину, а не подставляет приблизительный ответ.