Калькулятор факториала и комбинаторики

Считаем n!, перестановки, размещения и сочетания — с объяснением порядка, сокращением факториалов и каждым оставшимся множителем

Что нужно сделать?

Посчитать факториал, перестановки, размещения и сочетания

Все инструменты школьной математики

Мастер Удобника с указкой объясняет факториал и комбинаторику

Сочетания без повторений

Точный ответ1203 цифр

Всего объектов n10Выбираем k3Порядокне важен

Особый случай: Это обычный случай: последовательно оставляем только нужные множители и считаем точное целое число способов.

Решение по действиям

1. Разбираем условие и обозначения

n = 10; k = 3Выбираем k объектов из n, но порядок внутри выбранного набора не важен.

n показывает, сколько различных объектов есть всего. k показывает, сколько из них нужно выбрать. Один и тот же объект нельзя брать дважды.

2. Решаем, важен ли порядок

Порядок не важен: набор из одних и тех же объектов считается один раз, как бы мы ни переставляли его элементы.

Например, набор АБ и набор БА — одно сочетание, потому что выбраны те же два объекта.

3. Выбираем формулу

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)C(10,3) = 10! / (3! × 7!)

Сначала записываем общую формулу с буквами, затем подставляем конкретные n и k. Так видно, откуда берётся каждое число.

4. Проверяем границы и нулевой случай

0 ≤ 3 ≤ 10Это обычный случай: последовательно оставляем только нужные множители и считаем точное целое число способов.

Число способов не становится нулём только потому, что ничего не выбирают: пустой вариант существует ровно один.

5. Раскрываем и сокращаем факториалы

C(10,3) = (8 × 9 × 10) / (1 × 2 × 3) = 120

Используем симметрию k ↔ n−k и берём r = min(3, 7) = 3. После сокращения 7! остаются 3 верхних и 3 нижних множителей.

Симметрия позволяет взять короткую сторону: r = min(k, n − k) = 3. Точный ответ от этого не меняется.

6. Считаем оставшиеся множители по порядку

Шаг	Множитель сверху	Делитель снизу	Накопленный результат	Почему так
1	8	1	8	Берём 1 × 8 ÷ 1 = 8. Деление выполняется без остатка.
2	9	2	36	Предыдущий результат × 9 ÷ 2 = 36. Деление выполняется без остатка.
3	10	3	120	Предыдущий результат × 10 ÷ 3 = 120. Деление выполняется без остатка.

Показано каждое умножение и каждое точное деление.

7. Проверяем результат другой формулой

A(10,3) = 720C(10,3) × 3! = 120 × 6 = 720C(10,3) = C(10,7) = 1203 ≤ 10, поэтому выбор без повторений допустим

Сочетание выбирает группу, а k! переставляет выбранные элементы внутри неё. Вместе это обязано дать размещение.

8. Записываем ответ обычными словами

Сочетания без повторений: 120

Все проверки сошлисьПорядок не важен: набор из одних и тех же объектов считается один раз, как бы мы ни переставляли его элементы. Поэтому точное число способов равно 120.

Точный BigInt без округленияПорядок и каждый множитель объяснены

Как отличить факториал, перестановки, размещения и сочетания

Главный вопрос не «какую формулу вспомнить», а «сколько объектов берём и важен ли их порядок». Ответьте на эти два вопроса — и нужный вид расчёта станет очевидным.

1. Факториал n!

n! = 1 × 2 × 3 × … × n

Это произведение всех целых чисел от 1 до n. Например, 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720. По определению 0! = 1.

2. Перестановки P(n): берём все, порядок важен

P(n) = n!

На первое место можно поставить n объектов, на второе остаётся n − 1, затем n − 2 и так далее. Поэтому число способов равно n × (n − 1) × … × 1.

3. Размещения A(n,k): берём часть, порядок важен

A(n,k) = n! ÷ (n − k)!

Для первого выбранного места есть n вариантов, для второго n − 1, пока не заполним k мест. Хвост факториала от n − k до 1 сокращается.

4. Сочетания C(n,k): берём часть, порядок не важен

C(n,k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

Размещение посчитало каждый выбранный набор k! раз — во всех внутренних порядках. Делим на k!, чтобы оставить каждый набор ровно один раз.

5. Таблица выбора формулы

Задача	Сколько берём	Порядок	Формула
Факториал	нет выбора	не применяется	n!
Перестановки	все n	важен	P(n) = n!
Размещения	k из n	важен	A(n,k)
Сочетания	k из n	не важен	C(n,k)

6. Почему работает симметрия сочетаний

C(n,k) = C(n,n − k)

Если из 10 учеников выбрать 3 дежурных, одновременно определяются 7 учеников, которые не дежурят. Каждой тройке соответствует одна семёрка, поэтому количества равны.

7. Особые случаи с нулём

Запись	Ответ	Объяснение
0!	1	одно пустое произведение
P(0)	1	один пустой порядок
A(n,0)	1	один пустой упорядоченный выбор
C(n,0)	1	один пустой набор
C(n,n)	1	один набор из всех объектов

8. Что эта страница намеренно не смешивает

Здесь объекты различны и не повторяются. Если одинаковые буквы повторяются, объекты разрешено выбирать снова или расстановка идёт по кругу, формула меняется. Вероятность и биномиальное разложение также остаются отдельными задачами.

Для повторного умножения одного числа используйте калькулятор степеней, а для последовательности с постоянным множителем — калькулятор геометрической прогрессии.

Частые вопросы

Что такое факториал числа?

Факториал n! — произведение всех целых чисел от 1 до n. Например, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120.

Почему 0! равен 1?

Факториал нуля — пустое произведение. Есть ровно один способ расположить пустой набор: ничего не делать. Это правило также сохраняет общие формулы комбинаторики.

Чем перестановки отличаются от размещений?

В перестановке используются все n объектов. В размещении из n объектов выбирают только k, но порядок выбранных объектов всё равно важен.

Чем размещения отличаются от сочетаний?

В обоих случаях выбирают k объектов из n. В размещениях АБ и БА считаются разными, а в сочетаниях это один и тот же набор.

Когда использовать P(n), A(n,k) и C(n,k)?

Используйте P(n), когда расставляете все объекты; A(n,k), когда выбираете часть и учитываете порядок; C(n,k), когда выбираете часть, а порядок не важен.

Можно ли взять k больше n?

Нет, если выбор идёт без повторений. Нельзя выбрать больше различных объектов, чем существует всего, поэтому требуется 0 ≤ k ≤ n.

Почему C(n,k) равно C(n,n−k)?

Выбрать k объектов — то же самое, что решить, какие n−k объектов оставить. Каждому выбранному набору соответствует ровно один набор оставшихся объектов.

Почему A(n,k) = C(n,k) × k!?

Сначала сочетание выбирает одну группу из k объектов без учёта порядка. Затем k! перестановок создают все возможные порядки внутри этой группы.

Что означает выбор без повторений?

Каждый исходный объект можно использовать не больше одного раза. Если объект разрешено брать снова, нужны другие формулы, которые эта страница намеренно не смешивает с обычной школьной задачей.

Считает ли калькулятор круговые перестановки?

Нет. В круге повороты могут считаться одинаковыми, поэтому применяется другая формула. Здесь считаются линейные перестановки различных объектов.

Почему ответ может быть очень длинным?

Факториал растёт быстро: уже 1000! содержит 2568 цифр. Удобник сохраняет всё число точно и ограничивает только число видимых однотипных строк решения.

Есть ли скрытое округление?

Нет. Все результаты и промежуточные накопленные произведения вычисляются целыми числами BigInt. Десятичные приближения здесь вообще не нужны.