УдобникНаходим q, первый и n-й члены и конечную сумму — с каждой степенью, видимым рядом и прямой проверкой
Что нужно сделать?
Главный признак геометрической прогрессии — одинаковое умножение при каждом переходе. Ниже отдельно разобраны степень, сумма, знаки и нули, чтобы ни одно число не появлялось без причины.
Если a₁ = 3 и q = 2, каждый следующий член в два раза больше предыдущего: 3, 6, 12, 24. Проверка записывается умножением: 3 × 2 = 6 и 6 × 2 = 12. Умножение работает и там, где деление на нулевой член невозможно.
От a₁ до aₙ выполняется n − 1 переходов. Например, до a₈ нужно семь раз умножить на q, поэтому a₈ = a₁q⁷.
| Известно | Сначала находим | Главная формула |
|---|---|---|
| a₁, q, n | сразу aₙ | aₙ = a₁qn−1 |
| a₁, aₙ, n | точный q | qn−1 = aₙ/a₁ |
| aₖ, aₖ₊₁, k | q, затем a₁ | q = aₖ₊₁/aₖ |
Степень здесь равна n, потому что при свёртывании суммы появляется следующий после aₙ множитель. Калькулятор отдельно складывает все члены и проверяет формулу.
В общей формуле знаменатель 1 − q стал бы нулём. Но ряд прост: все n членов одинаковы, поэтому один член умножаем на их количество.
| Знаменатель | Что происходит | Пример при a₁ = 8 |
|---|---|---|
| q > 1 | модули растут | 8, 16, 32, 64 |
| 0 < q < 1 | модули уменьшаются | 8, 4, 2, 1 |
| q = 1 | все члены равны | 8, 8, 8, 8 |
| q = 0 | после a₁ идут нули | 8, 0, 0, 0 |
| q < 0 | знаки чередуются | 8, −16, 32, −64 |
Если q² = 16, подходят q = 4 и q = −4. Калькулятор просит выбрать знак явно. Если получается q = √2, точной рациональной дроби нет: сервис не подставляет приблизительный ответ незаметно и предлагает ввести осознанное приближение в основном режиме.
Здесь всегда складываются первые n членов, поэтому n обязателен. У бесконечной суммы есть дополнительное условие |q| < 1 и другой смысл предела; смешивать эти задачи на одной форме нельзя.
Если между соседними членами сохраняется не отношение, а разность, используйте калькулятор арифметической прогрессии. Для отдельной степени доступен калькулятор степеней.
Это последовательность, в которой каждый следующий член получают умножением предыдущего на одно и то же число q. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.
Используйте aₙ = a₁q^(n−1). От первого до n-го члена выполняется n − 1 умножений на q, поэтому показатель степени равен n − 1.
Если предыдущий член не равен нулю, разделите следующий на предыдущий: q = aₖ₊₁/aₖ. Пара 0 и 0 не определяет единственный q, потому что подходит любое конечное значение.
Сначала составьте q^(n−1) = aₙ/a₁, затем извлеките корень степени n − 1. При чётной степени положительное отношение даёт положительный и отрицательный варианты q, поэтому знак нужно выбрать явно.
Удобник сохраняет точные рациональные вычисления. Если q получается иррациональным, например √2, сервис не выдаёт округлённое число как точное и предлагает ввести осознанное приближение q в основном режиме.
При q ≠ 1 используйте Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). При q = 1 все члены равны a₁, поэтому сумма считается отдельно: Sₙ = na₁.
Каждый член равен первому: a₁, a₁, a₁ и так далее. Формула с 1 − q не применяется из-за деления на ноль, а конечная сумма равна n × a₁.
Первый член остаётся исходным, а каждый следующий равен нулю. При n ≥ 2 последний член равен 0, а сумма первых n членов остаётся равной a₁.
Да. Тогда знаки членов обычно чередуются: например, при a₁ = 2 и q = −3 получаем 2, −6, 18, −54. Знак степени зависит от чётности показателя.
Да. Разрешены запятая и точка, до восьми цифр после разделителя. Конечная десятичная запись внутри превращается в точную сокращённую дробь.
Нет. Эта страница считает только конечную сумму первых n членов. Бесконечная сумма существует не для всех q и остаётся отдельной задачей, чтобы не смешивать условия.
В геометрической прогрессии соседние члены связаны одинаковым умножением на q. В арифметической прогрессии между соседними членами сохраняется одинаковая разность d.
