1. Что означает постоянная разность
Если a₁ = 3 и d = 4, каждый следующий член на 4 больше предыдущего: 3, 7, 11, 15 и так далее. Проверка выглядит одинаково в любом месте ряда: 7 − 3 = 4 и 11 − 7 = 4.
Калькулятор арифметической прогрессии
Находим разность, первый и n-й члены и сумму — с каждой подстановкой, видимым рядом и тремя проверками
Инструменты школьной математики
Что нужно сделать?
Найти член и сумму арифметической прогрессии
Точные дроби до десятичного выводаКаждый из n членов входит в контрольную сумму
Как решать арифметическую прогрессию
Главный признак арифметической прогрессии — одинаковая разность между соседними членами. Ниже формулы разобраны простыми словами, чтобы было понятно, откуда берётся каждый множитель.
2. Формула n-го члена
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Число n − 1 — это количество переходов. Например, от a₁ до a₈ нужно сделать семь шагов, поэтому a₈ = 3 + 7 × 4 = 31.
3. Как выбрать режим по известным данным
| Известно | Сначала находим | Главная формула |
|---|---|---|
| a₁, d, n | сразу aₙ | aₙ = a₁ + (n − 1)d |
| a₁, aₙ, n | разность d | d = (aₙ − a₁)/(n − 1) |
| aₖ, k, aₘ, m | d, затем a₁ | d = (aₘ − aₖ)/(m − k) |
4. Первая формула суммы
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
Первый и последний члены образуют пару. Такая же сумма получается у второй и предпоследней пары. Поэтому сумму одной пары умножаем на число членов и делим на 2.
5. Вторая формула суммы
Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) ÷ 2
Это та же первая формула, только вместо aₙ подставлено a₁ + (n − 1)d. Она удобна, когда известны первый член и разность.
6. Отрицательная и нулевая разность
| Разность | Что происходит | Пример |
|---|---|---|
| d > 0 | ряд возрастает | 2, 5, 8, 11 |
| d = 0 | все члены равны | 7, 7, 7, 7 |
| d < 0 | ряд убывает | 10, 6, 2, −2 |
7. Почему дробь важнее округления
Если по a₁ = 0, a₄ = 1 получаем d = 1/3, десятичная запись продолжается бесконечно. Калькулятор сохраняет 1/3 как основной ответ и только рядом показывает приближение 0,333333333333.
8. Когда нужен другой инструмент
Эта страница не решает геометрические прогрессии, где соседний член умножают на постоянное число. Если неизвестная величина входит в обычное равенство, используйте решатель линейных уравнений.
Частые вопросы
Что такое арифметическая прогрессия?
Это последовательность, в которой к каждому члену прибавляют одно и то же число d. Поэтому разности a₂ − a₁, a₃ − a₂ и все следующие разности равны.
Как найти n-й член арифметической прогрессии?
Используйте формулу aₙ = a₁ + (n − 1)d. От первого до n-го члена выполняется n − 1 переходов, поэтому разность умножается именно на n − 1.
Как найти разность по первому и n-му членам?
Вычтите первый член из n-го и разделите изменение на количество переходов: d = (aₙ − a₁)/(n − 1). Для этого n должно быть не меньше 2.
Как найти разность по двум произвольным членам?
Если известны aₖ и aₘ, то d = (aₘ − aₖ)/(m − k). Номера k и m должны отличаться, иначе количество переходов равно нулю.
Как найти первый член по aₖ и d?
От aₖ вернитесь назад на k − 1 шагов: a₁ = aₖ − (k − 1)d. При отрицательной разности её знак сохраняется внутри вычисления.
Как найти сумму первых n членов?
Можно применить Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Если aₙ ещё не найден, используйте равную формулу Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2.
Почему калькулятор показывает две формулы суммы?
Они используют разные наборы известных величин, но обязаны дать один результат. Совпадение служит независимой проверкой вычисления.
Может ли разность быть отрицательной или нулевой?
Да. При d < 0 последовательность убывает, а при d = 0 все члены одинаковы. Обе ситуации остаются арифметической прогрессией.
Можно ли вводить десятичные числа?
Да. Разрешены запятая и точка, до восьми цифр после разделителя. Внутри конечная десятичная запись превращается в точную сокращённую дробь.
Почему при n = 1 нельзя найти d по a₁ и aₙ?
В этом случае aₙ — тот же самый первый член, переходов между ними нет. Подходят бесконечно многие значения d, поэтому единственного ответа не существует.
Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?
В арифметической прогрессии постоянна разность соседних членов. В геометрической постоянным остаётся отношение, поэтому для неё нужны другие формулы и отдельный калькулятор.