1. Что означает знак корня
ⁿ√a = x ⇔ xn = a
Запись спрашивает: «Какое число x нужно возвести в степень n, чтобы получить a?» Для √a невидимый индекс равен 2, для ³√a индекс равен 3.
Калькулятор корней
Извлекаем квадратный, кубический и корень n-й степени — с точным вынесением множителей, понятной областью значений и проверенным десятичным приближением
Инструменты школьной математики
Что нужно сделать?
Извлечь квадратный или корень n-й степени
Радикал упрощён точно через BigIntПриближение отделено от точного ответа
Как извлекать квадратный корень и корень n-й степени
Корень — это действие, обратное степени. Сначала ищем точное упрощение по простым множителям и только после этого, если нужно, считаем десятичное приближение.
2. Квадратный, кубический и n-й корень
| Запись | Степень | Обратная проверка | Пример |
|---|---|---|---|
| √a | 2 | x² = a | √49 = 7 |
| ³√a | 3 | x³ = a | ³√(−64) = −4 |
| ⁿ√a | от 2 до 12 | xn = a | ⁴√81 = 3 |
3. Зачем нужно разложение на простые множители
72 = 2³ × 3²
Показатели сразу показывают полные группы. Для квадратного корня собираем пары, для кубического — тройки, для корня четвёртой степени — группы по четыре.
4. Правило вынесения множителя
если a = bn × c, то ⁿ√a = b × ⁿ√c
Полная группа из n одинаковых множителей превращается в один множитель снаружи. Неполную группу нельзя выносить частично — она остаётся под корнем.
5. Подробный пример √72
√72 = √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2
Пара двоек даёт 2 перед корнем, пара троек даёт 3, а лишняя двойка остаётся внутри. Проверка: 6² × 2 = 36 × 2 = 72.
6. Отрицательное подкоренное число
Чётная степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому √(−16) в действительных числах не существует. Нечётная степень сохраняет минус: (−3)³ = −27, поэтому ³√(−27) = −3.
7. Точное значение и приближение — не одно и то же
√2 — точно; 1,4142135624 — приблизительно
Знак равенства ставим только между точными формами. Перед округлённой десятичной записью нужен знак ≈. Калькулятор показывает соседние границы и проверяет их степени без округления.
8. Типичные ошибки
| Ошибка | Почему неверно | Как правильно |
|---|---|---|
| √(a + b) = √a + √b | Корень не распределяется по сумме | Сначала сложить a + b |
| √72 = √36 + √2 | 72 не равно 36 + 2 в правиле произведения | √(36 × 2) = 6√2 |
| √2 = 1,41 | Конечная десятичная запись округлена | √2 ≈ 1,41 |
| √(−9) = −3 | (−3)² = 9, а не −9 | Действительного квадратного корня нет |
9. Связь с другими инструментами
Чтобы проверить найденный корень обратным действием, используйте калькулятор степеней. Чтобы увидеть само разложение числа подробнее, откройте разложение на простые множители.
Частые вопросы
Что означает корень n-й степени?
Корень n-й степени из a — это такое число x, что x в степени n равно a. Извлечение корня является обратным действием к возведению в степень.
Чем квадратный корень отличается от кубического?
У квадратного корня степень 2, поэтому число проверяют квадратом. У кубического степень 3, поэтому ответ возводят в куб. Кубический корень может быть отрицательным, а действительный квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Можно ли извлечь чётный корень из отрицательного числа?
В действительных числах нельзя. Чётная степень и положительного, и отрицательного числа неотрицательна, поэтому не может вернуть отрицательное подкоренное число.
Почему нечётный корень из отрицательного числа существует?
Нечётная степень сохраняет знак. Например, (−4)³ = −64, поэтому кубический корень из −64 равен −4.
Как вынести множитель из-под корня?
Разложите число на простые множители и соберите полные группы по n одинаковых множителей. Каждая полная группа даёт один множитель перед корнем.
Почему √72 равно 6√2?
72 = 2³ × 3². Из пары двоек выходит 2, из пары троек выходит 3, а одна двойка остаётся внутри. Перед корнем получаем 2 × 3 = 6, поэтому √72 = 6√2.
Когда корень получается целым?
Когда показатели всех простых множителей делятся на степень корня без остатка. Тогда под корнем после группировки остаётся 1.
Что значит несократимый радикал?
Это точная запись, из которой нельзя вынести целый множитель. Например, у √7 нет пары одинаковых простых множителей, поэтому √7 уже упрощён.
Почему точный радикал важнее десятичной записи?
Радикал хранит значение без ошибки. Десятичная запись большинства корней бесконечна, поэтому любое конечное число после запятой является только приближением.
Как калькулятор проверяет приближение?
Он строит две соседние десятичные границы и точно сравнивает их n-е степени с исходным числом. Корень обязан находиться между этими границами.
Чему равен корень из нуля и единицы?
Корень любой допустимой степени из 0 равен 0, а из 1 равен 1. При нечётной степени корень из −1 равен −1.
Какие числа принимает калькулятор?
Подкоренное число должно быть целым от −10¹² до 10¹², а степень — целым числом от 2 до 12. Десятичные подкоренные числа и комплексные ответы намеренно не смешиваются с этой учебной страницей.