Все найденные величины
- Радиус r
- 5 ед.Формула / точно: 5
- Диаметр d
- 10 ед.Формула / точно: 10
- Длина окружности L
- ≈ 31,415927 ед.Формула / точно: 10π
- Площадь круга S
- ≈ 78,539816 ед.²Формула / точно: 25π
Калькулятор круга и окружности
Находим радиус, диаметр, длину, площадь, дугу и сектор — π остаётся в точном ответе, каждое действие объяснено
Инструменты геометрии и уравнений
Что нужно решить?
Круг и окружность
Ответ:Круг и окружность рассчитаны
Радиус r5= 5 ед.
Радиус соединяет центр с окружностью и задаёт все размеры круга.
Решение по действиям
1. Записываем известные данные
Все параметры по радиусуr = 5
Радиус соединяет центр с окружностью и задаёт все размеры круга. Все обозначения заранее подписаны, поэтому длина не попадёт в поле площади.
2. Различаем круг и окружность
окружность → граница → L, ед.круг → внутренняя область → S, ед.²
Радиус r и диаметр d тоже являются длинами. Площадь нельзя складывать с длиной, а градусы нельзя подставлять вместо единиц длины.
3. Находим или подтверждаем радиус
r = 5 — дано в условии
Радиус — главная величина: после его восстановления остальные формулы становятся прямыми.
4. Находим диаметр
d = 2r = 2 × 5 = 10
Диаметр проходит через центр от одного края окружности до другого, поэтому в нём ровно два радиуса.
5. Находим длину окружности
L = 2πr = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,415927
π оставляем в точной записи. Число после знака ≈ — десятичное приближение, а не замена π на точное конечное число.
6. Находим площадь круга
S = πr² = π × 5² = 25π ≈ 78,539816
Радиус сначала возводим в квадрат и только затем умножаем на π. Ответ получает квадратную единицу.
7. Определяем долю полного круга
α ÷ 360° = 360° ÷ 360° = 1
Полный оборот равен 360°. Одинаковая доля α/360 берётся и от всей длины окружности, и от всей площади круга.
8. Считаем дугу, сектор и хорду
l = L × α ÷ 360° = 31,415927 × 360 ÷ 360 = 10π ≈ 31,415927Sсект = S × α ÷ 360° = 78,539816 × 360 ÷ 360 = 25π ≈ 78,539816cх = 2r · sin(α ÷ 2) = 0 ≈ 0
Дуга и хорда — длины, сектор — площадь. В режиме дуги главным ответом остаётся l, в режиме сектора — Sсект.
9. Восстанавливаем радиус и проверяем размерность
d ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 = rL ÷ (2π) = 31,415927 ÷ (2π) ≈ 5 = r√(S ÷ π) = √(78,539816 ÷ π) ≈ 5 = rl ÷ L = 31,415927 ÷ 31,415927 ≈ 1; Sсект ÷ S = 78,539816 ÷ 78,539816 ≈ 1
r, d, L, l и хорда — длины; S и Sсект — площади; α — угол в градусах. Эти величины не складываются друг с другом.
Все проверки сошлисьРадиус совпал по диаметру, длине и площади; доли дуги и сектора равны α/360.
π остаётся в точной формулеДлины и площади проверяются отдельно
Как найти параметры круга и окружности
Круг — вся область внутри границы. Окружность — сама замкнутая граница. Центр обозначаем O, радиус — r, диаметр — d, длину окружности — L, площадь круга — S. Сначала всегда полезно восстановить радиус, потому что через него записаны основные формулы.
Как выбрать один из шести режимов
| Известно или нужно | Первое действие | Главный результат |
|---|---|---|
| радиус r | использовать r напрямую | d, L и S |
| диаметр d | r = d/2 | r, L и S |
| длина окружности L | r = L/(2π) | r, d и S |
| площадь круга S | r = √(S/π) | r, d и L |
| дуга: r и α | доля = α/360 | длина дуги l |
| сектор: r и α | доля = α/360 | площадь сектора Sсект |
Диаметр
d = 2r
Диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.
Длина окружности
L = 2πr = πd
Это длина линии по границе, единица остаётся линейной.
Площадь круга
S = πr²
Радиус возводится в квадрат, поэтому единица тоже квадратная.
Дуга и сектор
доля = α/360°
Одинаковую долю берём от L для дуги и от S для сектора.
Почему π нужно оставлять в ответе
Число π показывает постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру. Его десятичная запись не заканчивается. Поэтому 10π — точная длина, а 31,415927 — приближение до шести знаков после запятой. В школьном решении сначала записывают ответ с π, а затем, если нужно, считают десятичное значение.
Сетка центральных углов
| α | Доля круга | Длина дуги l | Площадь сектора |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/12 | πr/6 | πr²/12 |
| 45° | 1/8 | πr/4 | πr²/8 |
| 60° | 1/6 | πr/3 | πr²/6 |
| 90° | 1/4 | πr/2 | πr²/4 |
| 180° | 1/2 | πr | πr²/2 |
| 360° | 1 | 2πr | πr² |
Подробный пример: радиус 5
r = 5
- Диаметр: d = 2r = 2 × 5 = 10.
- Длина окружности: L = 2πr = 2 × π × 5 = 10π.
- Десятичная длина: 10π ≈ 31,415927.
- Квадрат радиуса: r² = 5² = 25.
- Площадь: S = πr² = π × 25 = 25π.
- Десятичная площадь: 25π ≈ 78,539816.
- Проверка по диаметру: d/2 = 10/2 = 5.
- Проверка по длине: L/(2π) = 10π/(2π) = 5.
Подробный пример дуги и сектора
r = 6, α = 60°
- Полная длина: L = 2π × 6 = 12π.
- Полная площадь: S = π × 6² = 36π.
- Доля полного круга: 60°/360° = 1/6.
- Дуга: l = 12π × 1/6 = 2π.
- Сектор: Sсект = 36π × 1/6 = 6π.
- Хорда: cх = 2 × 6 × sin(60°/2) = 12 × sin 30° = 6.
- Проверка: l/L = 2π/12π = 1/6 и Sсект/S = 6π/36π = 1/6.
Единицы измерения
Если r введён в сантиметрах, то d, L, l и хорда получаются в сантиметрах, а S и Sсект — в см². Если радиус введён в метрах, площади будут в м². Угол α всегда вводится в градусах и не получает единицу длины.
Частые ошибки
- Круг назвали окружностью: круг имеет площадь, окружность имеет длину.
- Забыли квадрат: площадь равна πr², а не πr.
- Перепутали радиус и диаметр: диаметр в два раза больше радиуса.
- Взяли α/180 для доли сектора: доля полного круга равна α/360.
- Смешали см и м: сначала приведите все длины к одной единице.
- Округлили π слишком рано: сохраняйте выражение с π до последнего действия.
Частые вопросы
Чем круг отличается от окружности?
Окружность — линия по границе, поэтому её длина L измеряется в обычных единицах. Круг — вся внутренняя область, поэтому его площадь S измеряется в квадратных единицах.
Как найти диаметр по радиусу?
Диаметр состоит из двух радиусов: d = 2r. Например, при r = 5 диаметр равен 10.
Как найти длину окружности?
Умножьте радиус на 2π: L = 2πr. По диаметру та же формула записывается короче: L = πd.
Как найти площадь круга?
Возведите радиус в квадрат и умножьте на π: S = πr². Если известен диаметр, сначала найдите r = d/2.
Как найти радиус по длине окружности?
Перенесите множитель 2π в делитель: r = L/(2π). Калькулятор показывает эту подстановку до округления.
Как найти длину дуги по углу?
Найдите долю полного оборота α/360 и умножьте на всю длину окружности: l = Lα/360° = πrα/180°.
Как найти площадь сектора?
Умножьте площадь полного круга на долю угла: Sсект = Sα/360° = πr²α/360°.
Почему ответ с π называется точным?
π имеет бесконечную непериодическую десятичную запись. Выражение 10π сохраняет точное значение, а 31,415927 — только удобное приближение для измерений.