УдобникВведите радиус или диаметр — Удобник найдёт площадь поверхности, объём и большой круг. Если известна площадь или объём, калькулятор восстановит радиус и диаметр без подбора.
Для сферы радиуса r нужны две основные формулы:
S — площадь внешней поверхности, а V — объём всего шара внутри неё. Поэтому площадь измеряется в квадратных, а объём — в кубических единицах.
Что нужно решить?
В бытовой речи сферой часто называют весь круглый предмет. В математике слова разделяются: сфера — только граница, шар — граница и всё, что находится внутри. Это различие определяет, нужна площадь или объём.
| Буква | Что означает | Единицы |
|---|---|---|
| r | радиус от центра O до поверхности | м, см, мм |
| d | диаметр через центр | те же единицы длины |
| C | длина большого круга | единицы длины |
| A | площадь большого круга | квадратные единицы |
| S | площадь всей сферы | квадратные единицы |
| V | объём шара | кубические единицы |
Центр O равноудалён от каждой точки сферы. Если реальный предмет сплющен, полый, имеет толщину или заметные неровности, одной величины r для точной модели уже недостаточно.
Диаметр начинается на поверхности, проходит через центр и заканчивается на противоположной стороне. От первого края до центра лежит один радиус, от центра до второго края — ещё один. Поэтому при диаметре 10 см радиус равен 10÷2=5 см.
Разрежьте шар плоскостью точно через центр. Получится самый большой возможный круг: его радиус совпадает с r. Буква C обозначает длину границы этого круга, а A — площадь плоского сечения. Любое смещённое от центра сечение будет меньше.
Площадь всей сферической поверхности ровно в четыре раза больше площади большого круга. Сначала возводим радиус в квадрат, затем умножаем на π и на 4. Квадрат у радиуса объясняет и единицу ответа: при сантиметрах получается см², а не см.
Объём описывает пространство внутри сферы. Радиус возводится в куб: r³=r×r×r. После этого результат умножается на 4π и делится на 3. Куб радиуса даёт кубическую единицу, например м³ или см³.
Число 4π встречается и в длине C, и в площади A, но это разные величины с разными единицами. Совпадение числового коэффициента при r=2 не разрешает смешивать метры и квадратные метры.
Главная защита от ошибки — сначала явно разделить диаметр на два. Если подставить 40 вместо r, площадь станет в четыре раза, а объём — в восемь раз больше правильного ответа.
Сначала делением убираем множитель 4π. После этого остаётся квадрат радиуса, поэтому нужен квадратный корень. Например, при S=16π м² получаем r=√(16π/(4π))=√4=2 м и d=4 м.
Умножение на 3 и деление на 4π освобождают куб радиуса. Затем нужен именно кубический корень. Если V=32π/3 м³, внутри корня получается 8, поэтому r=∛8=2 м.
| Формула | Степень r | Обратное действие |
|---|---|---|
| S=4πr² | вторая | квадратный корень √ |
| V=4πr³/3 | третья | кубический корень ∛ |
Корень отменяет соответствующую степень. Обычный квадратный корень нельзя использовать вместо кубического: он решит другое уравнение и не вернёт исходный объём.
| Длина | Площадь | Объём |
|---|---|---|
| 1 см = 0,01 м | 1 см² = 0,0001 м² | 1 см³ = 0,000001 м³ |
| 1 мм = 0,001 м | 1 мм² = 0,000001 м² | 1 мм³ = 0,000000001 м³ |
| 1 дм = 0,1 м | 1 дм² = 0,01 м² | 1 дм³ = 1 л = 0,001 м³ |
| 1 км = 1000 м | 1 км² = 1 000 000 м² | 1 км³ = 1 000 000 000 м³ |
Коэффициент перевода тоже возводится в квадрат или куб. Поэтому 1 см³ — не 0,01 м³. Калькулятор сначала приводит известную величину к СИ, выполняет формулу и только потом переводит ответ в выбранную единицу.
π — бесконечная непериодическая десятичная дробь, поэтому запись 16π точнее любого конечного числа. Внутренние вычисления ведутся с повышенной точностью, а выбранное количество знаков применяется только при показе. Проверка повторно восстанавливает исходную площадь или объём, сверяет d=2r, S=4A и размерности.
| Ошибка | Что получится | Как исправить |
|---|---|---|
| диаметр подставили как r | S завышена в 4 раза, V в 8 раз | сначала r=d/2 |
| перепутали сферу и шар | площадь названа объёмом | проверить м² и м³ |
| для объёма взяли r² | нарушена размерность | использовать r³ |
| округлили π или r в середине | накопилась лишняя погрешность | округлять только ответ |
| реальный объект не сферический | модель не описывает форму | выбрать сегмент, оболочку или эллипсоид |
Формулы S=4πr² и V=4πr³/3 сверены с таблицей геометрических формул учебника OpenStax Prealgebra. Разделение единиц длины, площади и объёма и правила СИ сверены с главой 4 руководства NIST по СИ. Модель не рассчитывает полую оболочку, сегмент, колпак, массу материала и геодезический эллипсоид.
Возведите радиус r в квадрат и умножьте на 4π: S=4πr². Если дан диаметр d, сначала найдите r=d/2.
Возведите радиус в куб, умножьте на 4π и разделите на 3: V=4πr³/3. Результат записывают в кубических единицах.
Разделите площадь S на 4π и извлеките квадратный корень: r=√(S/(4π)).
Умножьте объём V на 3, разделите на 4π и извлеките кубический корень: r=∛(3V/(4π)).
Диаметр проходит через центр и состоит из двух радиусов, поэтому d=2r. По площади или объёму сначала находят r, затем удваивают его.
Сфера — внешняя поверхность: как тонкая оболочка без толщины. Шар — всё пространство внутри этой поверхности вместе с границей.
Это сечение плоскостью, проходящей через центр. Его радиус равен радиусу сферы, длина окружности C=2πr, площадь круга A=πr².
Да. Выберите «Диаметр d»: калькулятор точно разделит его на два, а затем применит формулы площади и объёма.
Да. Выберите литры в единицах объёма. Один литр равен одному кубическому дециметру, то есть 0,001 м³.
Нет. Для оболочки с толщиной нужны два радиуса и разность объёмов. Эта страница рассчитывает одну идеальную сферу и сплошной шар.
Нет. У сегмента и колпака есть дополнительная высота и отдельные формулы; здесь они не подменяются целой сферой.
Только как учебное приближение. Земля не является идеальной сферой; для геодезических расстояний и точной площади нужна модель эллипсоида.
Запись с π остаётся точной, а десятичная удобна для измерений. Калькулятор не округляет промежуточные значения и округляет только последнюю запись.
