Все элементы треугольника
- Катеты
- a = 3; b = 4
- Гипотенуза
- c = 5
- Острые углы
- A = 36,869898°; B = 53,130102°
- Периметр P
- 12
- Площадь S
- 6 ед.²
- Высота h к c
- 2,4
Калькулятор прямоугольного треугольника
Находим катеты, гипотенузу, углы, периметр и площадь — с теоремой Пифагора и каждой подстановкой
Инструменты геометрии и уравнений
Что нужно решить?
Прямоугольный треугольник
Ответ:Прямоугольный треугольник найден
Длины обоих катетов однозначно задают прямоугольный треугольник.
Решение по действиям
1. Записываем известные данные
Два катетаa = 3, b = 4, C = 90°
Длины обоих катетов однозначно задают прямоугольный треугольник. Буква стороны совпадает с буквой противоположного угла.
2. Отмечаем прямой угол и гипотенузу
C = 90°c лежит напротив C и длиннее a и b
Это главный признак прямоугольного треугольника. Поэтому для сторон можно применять теорему Пифагора, а острые углы вместе дают 90°.
3. Выбираем подходящее правило
Теорема Пифагораc² = a² + b²; c = √(a² + b²)
Правило выбрано именно по двум известным элементам. Дополнительных догадок о форме треугольника не требуется.
4. Подставляем исходные числа
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25; c = √25 = 5
Сначала видна подстановка и квадраты или тригонометрическая функция, затем — вычисленный результат.
5. Находим недостающие стороны
c = √(a² + b²) = √25 = 5
Все три стороны записаны в одной единице. Гипотенуза c после расчёта остаётся самой длинной.
6. Находим оба острых угла
tan A = a ÷ b = 3 ÷ 4 = 0,75A = arctan(0,75) = 36,869898°B = 90° − A = 90° − 36,869898° = 53,130102°A + B + C = 36,869898° + 53,130102° + 90° = 180°
Углы A и B меньше 90°. Вместе они дают 90°, а с прямым углом C — ровно 180°.
7. Складываем стороны и получаем периметр
P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12
Периметр — длина всей границы треугольника, поэтому складываем оба катета и гипотенузу.
8. Находим площадь и высоту к гипотенузе
S = a · b ÷ 2 = 3 × 4 ÷ 2 = 6h = a · b ÷ c = 3 × 4 ÷ 5 = 2,4
Катеты взаимно перпендикулярны, поэтому один служит основанием, второй — высотой. Высоту h к гипотенузе получаем из равенства двух формул площади.
9. Проверяем ответ тремя независимыми способами
a² + b² = 3² + 4² = 25; c² = 5² = 25A + B + C = 36,869898° + 53,130102° + 90° = 180°sin A = a ÷ c: sin 36,869898° = 0,6; 3 ÷ 5 = 0,6По Герону S = 6; через гипотенузу и высоту S = 5 × 2,4 ÷ 2 = 6
Все проверки сошлисьСовпали квадраты сторон, сумма углов, синус и две дополнительные формулы площади.
Проверяем, что c — гипотенузаСверяем Пифагора и площадь
Как решить прямоугольный треугольник по двум элементам
В прямоугольном треугольнике один угол уже известен: C = 90°. Поэтому достаточно двух дополнительных элементов, если среди них есть хотя бы одна сторона. Катеты a и b образуют прямой угол, а гипотенуза c лежит напротив него.
Как выбрать режим
| Известно | Что используем первым | Что находим |
|---|---|---|
| катеты a и b | c = √(a² + b²) | гипотенузу и углы |
| катет a и гипотенуза c | b = √(c² − a²) | второй катет и углы |
| гипотенуза c и угол A | a = c sin A; b = c cos A | оба катета и угол B |
| катет a и угол A | c = a / sin A; b = a / tan A | гипотенузу, катет b и угол B |
Теорема Пифагора
c² = a² + b²
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.
Острые углы
A + B = 90°
После нахождения одного острого угла второй получаем вычитанием.
Площадь
S = a · b / 2
Катеты одновременно являются основанием и высотой.
Высота к гипотенузе
h = a · b / c
Следует из равенства ab/2 = ch/2.
Почему гипотенуза всегда самая длинная
Сторона c лежит напротив самого большого угла — 90°. Из равенства c² = a² + b² видно, что c² больше отдельно взятого a² и b². Значит, c больше каждого катета. Если введённая «гипотенуза» не длиннее катета, калькулятор остановит расчёт и попросит проверить поля.
Тригонометрическая сетка для угла A
| Функция | Отношение сторон | Как восстановить сторону |
|---|---|---|
| sin A | a / c | a = c sin A; c = a / sin A |
| cos A | b / c | b = c cos A; c = b / cos A |
| tan A | a / b | a = b tan A; b = a / tan A |
Подробный пример: катеты 3 и 4
a = 3, b = 4, C = 90°
- Записываем теорему Пифагора: c² = a² + b².
- Подставляем стороны: c² = 3² + 4².
- Считаем квадраты: 3² = 9, 4² = 16.
- Складываем: c² = 9 + 16 = 25.
- Извлекаем корень: c = √25 = 5.
- Угол A: tan A = 3 / 4 = 0,75; A ≈ 36,869898°.
- Угол B: 90° − 36,869898° = 53,130102°.
- Периметр: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- Площадь: S = 3 · 4 / 2 = 6.
- Проверка: 3² + 4² = 25 и 5² = 25.
Пример: катет 5 и гипотенуза 13
Переносим известный квадрат катета: b² = c² − a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Затем извлекаем корень: b = √144 = 12. Получили треугольник 5–12–13. Его площадь равна 5 · 12 / 2 = 30.
Как проверяется площадь
Основная формула использует катеты: S = ab/2. Затем результат повторно считается по формуле Герона через три найденные стороны. Ещё одна проверка использует высоту к гипотенузе: S = ch/2. Совпадение трёх способов показывает, что стороны и единицы не перепутаны.
Округление и единицы
Корни и тригонометрические значения часто бесконечны в десятичной записи. На странице показывается до шести знаков после запятой, а проверки выполняются с большей внутренней точностью. Если стороны введены в сантиметрах, P и h будут в сантиметрах, а S — в см².
Частые ошибки
- Катет назвали гипотенузой: c должна лежать напротив 90° и быть самой длинной.
- Взяли угол 90° как A: A и B здесь только острые углы от 0° до 90°.
- Перепутали противолежащий катет: напротив A находится именно a.
- Забыли квадратный корень: из c² = 25 следует c = 5, а не 25.
- Смешали сантиметры и метры: сначала приведите длины к одной единице.
Частые вопросы
Какие исходные данные поддерживаются?
Четыре достаточные пары: два катета a и b; катет a и гипотенуза c; гипотенуза c и острый угол A; катет a и противолежащий угол A.
Как отличить гипотенузу от катета?
Гипотенуза лежит напротив прямого угла 90° и всегда длиннее каждого катета. В обозначениях калькулятора это сторона c.
Как найти гипотенузу по двум катетам?
Возведите оба катета в квадрат, сложите результаты и извлеките квадратный корень: c = √(a² + b²).
Как найти второй катет?
Если известны катет a и гипотенуза c, перенесите a² из равенства c² = a² + b²: b = √(c² − a²).
Как находятся острые углы?
По отношениям сторон: sin A = a/c, cos A = b/c, tan A = a/b. Второй острый угол B равен 90° − A.
Как считается площадь?
Катеты перпендикулярны, поэтому S = a · b / 2. Проверка выполняется формулой Герона и через гипотенузу с высотой: S = c · h / 2.
Можно ли вводить сантиметры или метры?
Да, но обе длины должны быть в одной единице. Периметр и высота сохранят её, а площадь будет выражена в квадратных единицах.
Чем эта страница отличается от общего калькулятора треугольника?
Здесь угол C заранее равен 90°, поэтому доступны короткие режимы по двум элементам, теорема Пифагора, катеты, гипотенуза и специальная высота к гипотенузе.