УдобникНаходим сторону, периметр, радиусы, апофему, площадь и углы — каждое число выводим из центральных треугольников
Что нужно решить?
Сторона уже задаёт масштаб правильного многоугольника. Остальные длины и площадь следуют из одинаковых центральных треугольников.
Формулы относятся только к правильному многоугольнику: все стороны и все внутренние углы равны. Произвольный многоугольник по n и одной длине восстановить нельзя.
Формулы относятся только к правильному многоугольнику: все стороны и все внутренние углы равны. Произвольный многоугольник по n и одной длине восстановить нельзя.
Соединяем центр со всеми вершинами. Получаем n одинаковых равнобедренных треугольников с вершиной в центре.
Сторона уже задаёт масштаб правильного многоугольника. Остальные длины и площадь следуют из одинаковых центральных треугольников.
Все n сторон равны, поэтому складывать одинаковое число n раз удобнее умножением.
R идёт от центра к вершине и является гипотенузой половины центрального треугольника.
Апофема r идёт от центра перпендикулярно стороне. В правильном многоугольнике это радиус вписанной окружности.
Площадь одного центрального треугольника равна половине произведения стороны на апофему; затем складываем n одинаковых площадей.
Апофема делит центральный треугольник пополам. Внутренний угол дополняет центральный до 180°.
a, P, R и r — длины в одной единице; S и S₁ — площади в квадратных единицах; α, β и Σ — углы в градусах; n — безразмерное целое число.
Обозначим число сторон n, сторону a, периметр P, радиус описанной окружности R, апофему и радиус вписанной окружности r, площадь S. Слово «правильный» означает одновременно две вещи: все стороны равны и все внутренние углы равны.
| Известно вместе с n | Как получить сторону a | Зачем это достаточно |
|---|---|---|
| сторона a | a уже дано | масштаб фигуры задан напрямую |
| периметр P | a=P/n | периметр состоит из n равных сторон |
| описанный радиус R | a=2R·sin(π/n) | сторона является хордой окружности |
| апофема r | a=2r·tan(π/n) | r и a/2 образуют прямоугольный треугольник |
| площадь S | a=√(4S·tan(π/n)/n) | положительный масштаб находится однозначно |
P = n · a
Складываем n одинаковых сторон.
α = 360° / n
Полный оборот делится между n вершинами.
β = 180° − 360° / n
Центральный и внутренний углы дополняют друг друга.
S = P · r / 2
Складываем площади центральных треугольников.
Соединим центр правильного многоугольника со всеми вершинами. Фигура распадётся на n одинаковых равнобедренных треугольников. У каждого основание a, боковые стороны R и высота r. Если разделить такой треугольник апофемой пополам, получим прямоугольный треугольник с катетами a/2 и r, гипотенузой R и острым углом π/n. Отсюда появляются синус, тангенс и все формулы радиусов.
| Исходная величина | Формула стороны | Промежуточная проверка |
|---|---|---|
| P | a=P/n | n·a=P |
| R | a=2R·sin(π/n) | a/(2sin(π/n))=R |
| r | a=2r·tan(π/n) | a/(2tan(π/n))=r |
| S | a=√(4S·tan(π/n)/n) | n·a²/(4tan(π/n))=S |
При n=3 получаем правильный треугольник, при n=4 — квадрат, при n=5 — правильный пятиугольник, при n=6 — правильный шестиугольник. Центральный угол всегда равен 360°/n, один внутренний — 180°−360°/n, а сумма внутренних углов — (n−2)×180°. Диагоналей у фигуры n(n−3)/2, но при n≥5 они бывают разных типов, поэтому первая версия не смешивает их в один двусмысленный ответ.
У произвольной фигуры стороны и углы могут различаться. Даже если известны n и периметр, один край может стать длиннее, другой короче, а площадь изменится. Поэтому этот калькулятор требует явного подтверждения правильности фигуры и не создаёт ложный ответ для неправильного многоугольника.
Это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Равенства только сторон недостаточно.
Минимум три. Калькулятор принимает целое n от 3 до 1000; дробного количества сторон не бывает.
Описанный радиус R идёт от центра к вершине. Апофема r идёт от центра перпендикулярно стороне и равна радиусу вписанной окружности.
Умножьте длину одной стороны a на число сторон n: P=n·a.
Разделите произведение периметра P и апофемы r на два: S=P·r/2. Так складываются площади n одинаковых центральных треугольников.
Сначала найдите центральный угол α=360°/n, затем вычтите его из 180°: β=180°−α.
Центральный угол равен 60°. Центральный треугольник имеет два радиуса и угол 60°, поэтому становится равносторонним: a=R.
Нет. Если стороны или углы различаются, n и одна длина не задают фигуру однозначно. Нужны другие исходные данные и разбиение.
Сторону, периметр и оба радиуса записывайте в одной линейной единице. Площадь получится в квадрате этой единицы, углы — в градусах.