УдобникНайдём объём, образующую, площадь основания, боковую и полную площадь либо восстановим радиус или высоту — с точным π и каждым действием как в учебнике
Что нужно решить?
У прямого кругового конуса вершина расположена точно над центром основания. Радиус r лежит в основании, высота h идёт к основанию под прямым углом, а образующая l проходит по боковой поверхности.
| Буква | Что обозначает | Размерность |
|---|---|---|
| r | радиус круглого основания | длина |
| d | диаметр основания, d=2r | длина |
| h | высота от вершины до центра основания | длина |
| l | образующая от вершины до края круга | длина |
| Sₒ, Sб, S | площадь основания, боковая и полная площади | площадь |
| V | объём конуса | объём |
В формулах используется радиус. Если условие даёт диаметр, сначала делим его пополам и только затем возводим найденный радиус в квадрат.
Высота проходит внутри конуса и перпендикулярна основанию. Образующая наклонена и лежит на боковой поверхности, поэтому l всегда длиннее r и h.
У обычного конуса одно основание. Это важно: второе основание, как у цилиндра, прибавлять не нужно.
Для боковой площади нужна образующая l, а не вертикальная высота h. Полная поверхность состоит из боковой части и одного круга.
Конус занимает одну треть объёма цилиндра с теми же основанием и высотой. Поэтому после умножения площади основания на h обязательно делим на 3.
Числа 3, 4 и 5 образуют знакомый прямоугольный треугольник, поэтому пример удобно проверять без калькулятора.
Сначала приводим длины к одной единице. Иначе сумма квадратов 3²+40² не описывала бы реальные стороны одного треугольника.
Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета. Если l не больше катета, геометрически допустимый прямой конус не получится.
Множитель 3 переносится в числитель, потому что в исходной формуле объём делится на 3. Для радиуса нужен квадратный корень.
| Длина | Площадь | Объём |
|---|---|---|
| 1 см = 0,01 м | 1 см² = 0,0001 м² | 1 см³ = 0,000001 м³ |
| 1 мм = 0,001 м | 1 мм² = 0,000001 м² | 1 мм³ = 0,000000001 м³ |
| 1 км = 1000 м | 1 км² = 1 000 000 м² | 1 км³ = 1 000 000 000 м³ |
| 1 дм = 0,1 м | 1 дм² = 0,01 м² | 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³ |
И π, и многие квадратные корни имеют бесконечную десятичную запись. Если обрезать l перед вычислением боковой площади, а π заменить на 3,14, две ошибки сложатся. Удобник хранит Decimal-точность 50 знаков и округляет только готовое экранное значение.
| Ошибка | Почему неверно | Как правильно |
|---|---|---|
| h подставили вместо l | боковая поверхность наклонена | сначала l=√(r²+h²) |
| прибавили два основания | у конуса один круг | S=πr²+πrl |
| забыли деление на 3 | получился объём цилиндра | V=πr²h/3 |
| смешали см и мм | стороны треугольника в разных масштабах | сначала привести длины к одной единице |
Формулы сверены с OpenStax Contemporary Mathematics §10.7, а квадратные и кубические единицы — с главой 4 руководства NIST по СИ.
Умножьте площадь основания πr² на перпендикулярную высоту h и разделите на 3: V=πr²h/3.
В прямом круговом конусе радиус r, высота h и образующая l образуют прямоугольный треугольник, поэтому l=√(r²+h²).
Умножьте π на радиус основания и образующую: Sб=πrl. Высоту вместо образующей подставлять нельзя.
Сложите одно круглое основание и боковую поверхность: S=πr²+πrl=πr(r+l).
Из теоремы Пифагора получаем h=√(l²−r²). Образующая обязана быть длиннее радиуса.
Вычтите квадрат высоты из квадрата образующей и извлеките корень: r=√(l²−h²). Образующая должна быть длиннее высоты.
Умножьте объём на 3, разделите на πh и извлеките квадратный корень: r=√(3V/(πh)).
Умножьте объём на 3 и разделите на площадь основания πr²: h=3V/(πr²).
Да. Калькулятор сначала получает r=d/2, потому что в формулах конуса используется радиус.
У обычного конуса снизу один круг, а сверху одна вершина. Поэтому в полной площади прибавляется одно основание, а не два, как у цилиндра.
Конус с теми же основанием и высотой занимает треть объёма соответствующего цилиндра. Это геометрическое соотношение входит в формулу V=Sₒh/3.
Нет. У усечённого конуса два разных радиуса и другая формула объёма; для него предусмотрен отдельный калькулятор.
Нет. Здесь вершина находится над центром основания, h перпендикулярна кругу, а тело считается сплошным и идеальным.
