Калькулятор цилиндра

Найдём объём, площадь основания, боковую и полную площадь либо восстановим радиус или высоту — с точным π, наглядной схемой и всеми действиями как в учебнике

Что нужно решить?

Цилиндр

Раздел «Геометрия и уравнения»

Что нужно найти?

Что известно у основания?

Радиус rразмер основанияВысота hрасстояние между основаниями

ОбъёмПлощади

Знаков после запятой

Считаем прямой круговой цилиндр. Стенки, полости, наклон, масса и стоимость материала не добавляются скрыто.

Мастер Удобника с указкой объясняет расчёт цилиндра

Прямой круговой цилиндр · Все свойства по радиусу и высоте

Объём V:141,371669 м³

r = 3 м, d = 6 м, h = 5 м → V = 45π м³ ≈ 141,371669 м³

Точная запись с π сохранена рядом с приближением. Промежуточные действия не округляются.

Схема обозначений, не чертёж в масштабе. Высота перпендикулярна круглым основаниям.

Величина	Точно	Приближённо	Статус
Радиус r	3 м	3 м	дано
Диаметр d	d = 2r	6 м	вычислено
Высота h	5 м	5 м	дано
Площадь основания Sₒ	9π м²	28,274334 м²	вычислено
Боковая площадь Sб	30π м²	94,24778 м²	вычислено
Полная площадь S	48π м²	150,796447 м²	вычислено
Объём V	45π м³	141,371669 м³	вычислено

Решение по действиям

1. Записываем, что дано и что нужно найти

Все свойства по радиусу и высоте. Дано r = 3 м и h; ищем площади и объём.Радиус и высота реального цилиндра должны быть больше нуля.

2. Читаем обозначения на схеме

r — радиус, d = 2r — диаметрh — перпендикулярная высота

Диаметр проходит через центр основания, поэтому он ровно в два раза длиннее радиуса.

3. Выбираем исходную формулу

Sₒ = πr²; Sб = 2πrh; S = 2πr(r + h); V = πr²hd = 2r; S = 2Sₒ + Sб; V = Sₒh

Площадь основания умножаем на высоту; боковую поверхность получаем как длину окружности, умноженную на высоту.

4. Приводим известные величины к СИ

3 м = 3 м5 м = 5 мИскомые площади и объём вычисляем в СИ, затем переводим в выбранные единицы.

Длины переводим в метры, площадь — в квадратные метры, объём — в кубические метры.

5. Связываем площади и объём с r и h

d = 2r; S = 2Sₒ + Sб; V = SₒhV = π × 3² × 5; S = 2π × 3 × (3 + 5)

Площадь основания используем повторно: для полной площади и для объёма.

6. Вычисляем все свойства без раннего округления

r = 3 м; d = 6 м; h = 5 м; Sₒ = 28,27433388230814 м²; Sб = 94,2477796076938 м²; S = 150,79644737231008 м²; V = 141,3716694115407 м³Sₒ = 9π м²; Sб = 30π м²

Полная площадь равна двум основаниям плюс боковая поверхность.

7. Записываем точный и десятичный ответы

S = 48π м² ≈ 150,796447 м²V = 45π м³ ≈ 141,371669 м³

141,3716694115407 м³ = 141,371669 м³. Число π не исчезает: оно остаётся в точной записи.

8. Проверяем ответ обратной подстановкой и размерностями

π × 3² × 5 = 141,3716694115407 м³; 2π × 3 × (3 + 5) = 150,79644737231008 м²π — безразмерное число; м² × м = м³; м × м = м² — размерности согласованы

Все четыре проверки сошлисьДиаметр: 2 × 3 = 6 мОбъём: π × 9 × 5 = 141,3716694115407 м³Площадь: 56,54866776461628 + 94,2477796076938 = 150,79644737231008 м²π — безразмерное число; м² × м = м³; м × м = м² — размерности согласованы

8 действий без пропусковТочная запись с πПроверка м, м² и м³

Как рассчитать цилиндр

Прямой круговой цилиндр состоит из двух одинаковых круглых оснований и боковой поверхности. Высота h перпендикулярна основаниям, а радиус r идёт от центра круга до его края.

1. Что означают обозначения

Буква	Что это	Размерность
r	радиус круглого основания	длина
d	диаметр основания, d=2r	длина
h	перпендикулярная высота	длина
Sₒ, Sб, S	основание, боковая и полная площади	площадь
V	объём внутри цилиндра	объём

2. Радиус и диаметр

d = 2rr = d ÷ 2

Во все формулы цилиндра подставляется радиус. Если в условии дан диаметр, сначала обязательно делим его на два.

3. Площадь одного основания

Sₒ = πr²

Основание — обычный круг. Возводим радиус в квадрат и умножаем на π. Два основания вместе имеют площадь 2πr².

4. Боковая поверхность

Sб = 2πrh

Если разрезать боковую поверхность вдоль высоты и развернуть, получится прямоугольник. Одна его сторона равна h, другая — длине окружности 2πr.

5. Полная площадь

S = 2Sₒ + SбS = 2πr² + 2πrh = 2πr(r+h)

Складываем верхнее основание, нижнее основание и боковую поверхность. Скрытых граней у идеального цилиндра нет.

6. Объём цилиндра

V = Sₒ × h = πr²h

Площадь основания умножаем на перпендикулярную высоту. Квадратная единица площади, умноженная на единицу длины, даёт кубическую единицу.

7. Пример: r=3 м, h=5 м

Sₒ = π × 3² = 9π ≈ 28,274334 м²Sб = 2π × 3 × 5 = 30π ≈ 94,247780 м²S = 48π ≈ 150,796447 м²V = π × 3² × 5 = 45π ≈ 141,371669 м³

Коэффициенты 9, 30, 48 и 45 получаются до умножения на π, поэтому точные ответы легко проверить.

8. Пример с диаметром: d=10 см, h=12 см

r = 10 ÷ 2 = 5 смS = 2π × 5 × (5+12) = 170π см²V = π × 5² × 12 = 300π см³

Самая частая ошибка здесь — подставить 10 вместо 5. Формула использует радиус, а не диаметр.

9. Радиус или высота по объёму

r = √(V ÷ (πh))h = V ÷ (πr²)

Чтобы найти радиус, после деления извлекаем квадратный корень, потому что в исходной формуле радиус возведён в квадрат.

10. Радиус или высота по полной площади

r = (√(h² + 2S/π) − h) ÷ 2h = S ÷ (2πr) − r

Для радиуса получается квадратное уравнение. Берём только положительный корень: отрицательная длина геометрического смысла не имеет.

11. Единицы длины, площади и объёма

Длина	Площадь	Объём
1 см = 0,01 м	1 см² = 0,0001 м²	1 см³ = 0,000001 м³
100 см = 1 м	10 000 см² = 1 м²	1 000 000 см³ = 1 м³
1 дм = 0,1 м	1 дм² = 0,01 м²	1 л = 1 дм³ = 0,001 м³

12. Почему точный ответ с π лучше раннего округления

Число π бесконечно и непериодично. Если заменить его на 3,14 в первом действии, ошибка попадёт во все последующие результаты. Удобник хранит π с Decimal-точностью 50 знаков и округляет только экранную запись.

13. Типичные ошибки, границы и источники

Ошибка	Почему неверно	Как правильно
диаметр подставили как r	радиус вдвое меньше	сначала r=d/2
забыли второе основание	полная площадь содержит два круга	S=2πr²+2πrh
сложили площадь и объём	м² и м³ несовместимы	считать величины отдельно
использовали наклонную образующую как h	для прямого цилиндра h перпендикулярна основаниям	ввести расстояние между основаниями

Формулы сверены с OpenStax Contemporary Mathematics §10.7, а единицы м² и м³ — с главой 4 руководства NIST по СИ.

Частые вопросы

Как найти объём цилиндра?

Умножьте площадь круглого основания πr² на высоту h: V = πr²h. Все длины заранее приведите к одной единице.

Как найти полную площадь поверхности цилиндра?

Сложите площади двух оснований 2πr² и боковую площадь 2πrh: S = 2πr(r+h).

Как найти площадь боковой поверхности?

Мысленно разверните боковую поверхность в прямоугольник. Его ширина равна длине окружности 2πr, а высота равна h, поэтому Sб = 2πrh.

Как найти площадь одного основания?

Основание — круг радиуса r, поэтому Sₒ = πr².

Как найти радиус цилиндра по объёму и высоте?

Разделите объём на π и высоту, затем извлеките квадратный корень: r = √(V/(πh)).

Как найти высоту цилиндра по объёму и радиусу?

Разделите объём на площадь основания: h = V/(πr²).

Как найти радиус по полной площади и высоте?

Решите квадратное уравнение 2πr²+2πhr−S=0. Положительный корень: r=(√(h²+2S/π)−h)/2.

Как найти высоту по полной площади и радиусу?

Из S=2πr(r+h) получаем h=S/(2πr)−r. Результат должен быть положительным.

Можно ли вводить диаметр вместо радиуса?

Да. Калькулятор сначала делит диаметр пополам: r=d/2, затем использует радиус во всех формулах.

Почему ответ показывается с π и десятичным числом?

Запись с π сохраняет точное значение. Десятичная запись удобна для практического измерения, но зависит от выбранного округления.

Сколько литров в кубическом метре?

1 м³ = 1000 л точно. Калькулятор переводит литры через 1 л = 0,001 м³.

Подходит ли калькулятор для трубы?

Нет. Труба полая, поэтому для неё нужны внешний и внутренний радиусы. Здесь считается сплошной прямой круговой цилиндр.

Подходит ли расчёт для наклонного цилиндра?

Нет. Здесь h — перпендикулярное расстояние между основаниями прямого цилиндра.