УдобникВведите сторону квадратного основания и высоту. Удобник покажет объём, апофему, боковое ребро и обе площади, а затем разберёт каждое действие как в школьной тетради.
Если известны сторона основания a и высота h, используйте:
Сначала найдите апофему l: без неё нельзя посчитать площадь четырёх наклонных граней. Не подменяйте апофему боковым ребром e.
Что нужно решить?
Правильная четырёхугольная пирамида стоит на квадрате, а её вершина находится строго над центром основания. Благодаря симметрии все четыре боковые грани равны, все боковые рёбра равны, а одной апофемы достаточно для площади всей боковой поверхности.
| Буква | Что обозначает | Куда приходит отрезок |
|---|---|---|
| a | сторона квадратного основания | между соседними вершинами квадрата |
| h | перпендикулярная высота пирамиды | в центр квадрата |
| l | апофема, она же высота боковой грани | в середину стороны квадрата |
| e | боковое ребро | в вершину квадрата |
| S₀, Sб, S | основание, боковая и полная площади | квадратные единицы |
| V | объём | кубические единицы |
Соединим вершину пирамиды, центр квадрата и середину его стороны. Получим прямоугольный треугольник: вертикальный катет h, горизонтальный катет a/2, гипотенуза l. Отсюда l=√(h²+(a/2)²).
Теперь горизонтальный катет идёт от центра квадрата к его вершине. Это половина диагонали квадрата: a√2/2=a/√2. Поэтому ребро e получается длиннее апофемы l.
Основание — квадрат. Умножаем сторону на такую же сторону. Если a=6 м, то S₀=6×6=36 м².
Каждая боковая грань — треугольник с основанием a и высотой l. Таких треугольников четыре. К боковой площади прибавляем квадратное основание и получаем полную поверхность.
Сначала считаем площадь основания, умножаем её на перпендикулярную высоту и делим на 3. Апофема и боковое ребро в формулу объёма не входят.
В первом треугольнике катеты 3 и 4 дают апофему 5. Во втором горизонтальный катет длиннее — половина диагонали квадрата, поэтому ребро равно √34.
Сантиметр площади и сантиметр объёма меняются не одинаково: 1 м²=10 000 см², а 1 м³=1 000 000 см³. Поэтому единицы переводим до и после вычисления отдельно.
В обоих случаях начинаем с l²=h²+(a/2)². Для высоты вычитаем квадрат половины стороны. Для стороны сначала находим a/2, а затем обязательно умножаем корень на 2.
Здесь используется второй треугольник, где горизонтальный катет равен половине диагонали основания. Формула с a/2 относится к апофеме и для ребра неверна.
Чтобы найти высоту, переносим a² и делитель 3. Чтобы найти сторону, сначала получаем a²=3V/h, а затем извлекаем квадратный корень.
| Длина | Площадь | Объём |
|---|---|---|
| 1 см = 0,01 м | 1 см² = 0,0001 м² | 1 см³ = 0,000001 м³ |
| 1 мм = 0,001 м | 1 мм² = 0,000001 м² | 1 мм³ = 0,000000001 м³ |
| 1 км = 1000 м | 1 км² = 1 000 000 м² | 1 км³ = 1 000 000 000 м³ |
| 1 дм = 0,1 м | 1 дм² = 0,01 м² | 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³ |
Калькулятор ведёт промежуточные вычисления с Decimal-точностью 50 знаков. Выбранное округление применяется только к экранной записи результата.
| Ошибка | Почему неверно | Как правильно |
|---|---|---|
| l заменили на e | ребро не является высотой грани | для Sб использовать апофему l |
| взяли a вместо a/2 | апофема приходит в середину стороны | в первом треугольнике катет a/2 |
| объём не разделили на 3 | получился объём призмы | V=a²h/3 |
| основание не квадрат | симметрия и формулы меняются | использовать другую модель |
Страница описывает идеальную прямую правильную пирамиду с квадратным основанием. Она не рассчитывает наклон, усечение, толщину, массу и инженерные допуски. Формулы объёма и площади сверены с OpenStax Contemporary Mathematics §10.7, правила квадратных и кубических единиц — с главой 4 руководства NIST по СИ.
Возведите сторону квадратного основания a в квадрат, умножьте на высоту h и разделите на 3: V=a²h/3.
Апофема l, высота h и половина стороны a/2 образуют прямоугольный треугольник. Поэтому l=√(h²+(a/2)²).
Расстояние от центра квадрата до его вершины равно a/√2. Поэтому боковое ребро e=√(h²+a²/2).
Апофема идёт от вершины пирамиды к середине стороны основания и является высотой боковой грани. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной квадрата, поэтому оно длиннее апофемы.
Одна грань имеет площадь a·l/2. Граней четыре, поэтому Sб=4·a·l/2=2al.
Сложите площадь квадратного основания a² и площадь четырёх боковых граней 2al: S=a²+2al.
Из квадрата апофемы вычтите квадрат половины стороны и извлеките корень: h=√(l²−(a/2)²).
Вычтите h² из l², извлеките корень и удвойте результат: a=2√(l²−h²).
Из e² вычтите a²/2 и извлеките корень: h=√(e²−a²/2).
Умножьте объём на 3, разделите на высоту и извлеките квадратный корень: a=√(3V/h).
Да. Сторону можно указать в сантиметрах, а высоту в миллиметрах. Калькулятор сначала переведёт длины в метры, затем вернёт площади и объём в выбранных единицах.
Нет. Здесь основание обязательно квадратное. У прямоугольной или произвольной пирамиды другие апофемы и формулы боковой поверхности.
Нет. Калькулятор считает идеальную правильную пирамиду, у которой вершина находится над центром квадрата. Наклон и срезанная вершина требуют другой модели.
