Найденный треугольник
- Стороны
- a = 3; b = 4; c = 5
- Углы
- A = 36,869898°; B = 53,130102°; C = 90°
- Периметр P
- 12
- Полупериметр p
- 6
- Площадь S
- 6 ед.²
Калькулятор произвольного треугольника
Находим все стороны и углы, периметр и площадь — с проверкой существования и каждой формулой до ответа
Инструменты геометрии и уравнений
Что нужно решить?
Произвольный треугольник
Ответ:Один существующий треугольник
Набор исходных данных однозначно определяет один треугольник.
Решение по действиям
1. Записываем известные данные
Три стороны (SSS)a = 3, b = 4, c = 5
Буква стороны всегда совпадает с буквой противоположного угла: сторона a лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C.
2. Проверяем, может ли существовать треугольник
Наименьший запас неравенства треугольника = 2 > 0Все стороны и углы положительны. Сумма любых двух сторон больше третьей, а три угла оставляют ровно 180°.
3. Выбираем подходящее правило
Теорема косинусовcos A = (b² + c² − a²) ÷ 2bc; cos B = (a² + c² − b²) ÷ 2ac
Правило выбрано по трём известным величинам, поэтому недостающие элементы можно найти без догадок.
4. Подставляем исходные числа
cos A = (4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5)
Сначала показываем подстановку, только затем выполняем вычисления. Тригонометрические функции получают углы в градусах, явно подписанных знаком °.
5. Находим недостающие стороны
Все три стороны известны из условия.
Одинаковые единицы длины сохраняются у всех трёх сторон.
6. Находим недостающие углы
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ 2bc) = 36,869898°B = arccos((a² + c² − b²) ÷ 2ac) = 53,130102°C = 180° − A − B = 90°
Последний угол находим вычитанием из 180°, чтобы сумма углов была видна прямо в решении.
7. Считаем периметр и полупериметр
P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12p = P ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6
Периметр — сумма всех сторон. Полупериметр нужен для формулы Герона.
8. Считаем площадь по формуле Герона
S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = 6
Под корнем перемножаются полупериметр и три положительные разности. Ответ измеряется в квадратных единицах.
9. Проверяем результат независимо
A + B + C = 36,869898° + 53,130102° + 90° = 180°c = √(a² + b² − 2ab · cos C) = 5 = 5S = a · b · sin C ÷ 2 = 3 × 4 × sin 90° ÷ 2 = 6
Все проверки сошлисьПлощадь повторно найдена через синус, сторона c — через теорему косинусов.
Проверяем существованиеНе скрываем два ответа SSA
Как рассчитать треугольник по известным данным
Треугольник определяется не любыми тремя числами. Сначала выбираем набор данных, затем проверяем ограничения и только после этого применяем формулу. Сторона a всегда лежит напротив угла A, b — напротив B, c — напротив C.
Как выбрать режим
| Известно | Режим | Первое правило | Сколько ответов |
|---|---|---|---|
| a, b, c | SSS | теорема косинусов для углов | один или фигура невозможна |
| a, b, C | SAS | c² = a² + b² − 2ab cos C | один |
| c, A, B | ASA/AAS | C = 180° − A − B, затем синусы | один |
| a, b, A | SSA | sin B = b sin A / a | ноль, один или два |
Сумма углов
A + B + C = 180°
Если известны два угла, третий находится простым вычитанием.
Теорема косинусов
c² = a² + b² − 2ab cos C
Связывает три стороны и угол между двумя известными сторонами.
Теорема синусов
a / sin A = b / sin B = c / sin C
Каждая сторона делится на синус противоположного угла.
Формула Герона
S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
Даёт площадь через три стороны и полупериметр p.
Когда треугольник существует
Для положительных сторон должны выполняться сразу три строгих неравенства: a + b > c, a + c > b, b + c > a. Равенство не подходит: точки лягут на одну прямую, а площадь станет нулевой. Каждый угол должен быть больше 0° и меньше 180°.
Подробный пример: стороны 3, 4 и 5
SSS: a = 3, b = 4, c = 5
- Проверяем стороны: 3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4, 4 + 5 > 3.
- Находим угол C: cos C = (3² + 4² − 5²) / (2 · 3 · 4).
- Считаем числитель: 9 + 16 − 25 = 0, поэтому cos C = 0 и C = 90°.
- По той же теореме находим A ≈ 36,869898° и B ≈ 53,130102°.
- Периметр: P = 3 + 4 + 5 = 12.
- Полупериметр: p = 12 / 2 = 6.
- Площадь: S = √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6.
- Проверяем площадь второй формулой: 3 · 4 · sin 90° / 2 = 6.
Почему SSA иногда даёт два треугольника
Если вычислено sin B, функция arcsin возвращает острый угол B₁. Но тот же синус имеет дополнительный угол B₂ = 180° − B₁. Мы проверяем оба: если A + B меньше 180°, третий угол C положителен и такой вариант действительно существует. Поэтому калькулятор никогда не прячет второй допустимый ответ.
Округление и единицы
Тригонометрические значения обычно не заканчиваются точной десятичной дробью. На экране показывается до шести знаков после запятой. Проверки выполняются с большей внутренней точностью. Если стороны введены в сантиметрах, периметр получится в сантиметрах, а площадь — в см²; смешивать сантиметры и метры нельзя.
Частые ошибки
- Перепутали противоположные пары: сторона a относится именно к углу A.
- В SAS взяли не тот угол: C должен лежать между сторонами a и b.
- Сложили два угла до 180°: для третьего угла должно остаться положительное значение.
- Забыли второй SSA-вариант: проверяется и B, и 180° − B.
- Смешали единицы: все длины сначала приводятся к одной единице.
Частые вопросы
Какие исходные данные поддерживаются?
Четыре достаточных набора: три стороны SSS; две стороны и угол между ними SAS; сторона и два угла ASA/AAS; две стороны и угол напротив стороны a — SSA.
Почему сторона a находится напротив угла A?
Это общепринятое обозначение треугольника. Такая пара букв помогает правильно применять теоремы синусов и косинусов.
Как проверяется существование треугольника?
Стороны должны быть положительными, сумма любых двух сторон — больше третьей, каждый угол находится между 0° и 180°, а сумма углов равна 180°.
Почему в режиме SSA может быть два ответа?
Одинаковый синус имеют острый угол B и дополнительный угол 180° − B. Если после каждого варианта остаётся положительный угол C, существуют два разных треугольника.
Как считается площадь?
Основной результат вычисляется по формуле Герона через три стороны и полупериметр. Затем площадь независимо проверяется как a · b · sin C / 2.
Можно ли вводить сантиметры или метры?
Да, если все стороны записаны в одной единице. Периметр будет в этой единице, площадь — в квадратных единицах.
Почему числа округляются?
Углы и стороны часто иррациональны. Движок считает с большей внутренней точностью, а на экране оставляет до шести знаков после запятой и явно показывает проверку.
Это калькулятор прямоугольного треугольника?
Он умеет получить прямой угол как частный случай, но отдельный решатель прямоугольного треугольника будет удобнее для катетов, гипотенузы и теоремы Пифагора.