Удобник

Калькулятор трапеции

Считаем общую и равнобедренную трапецию — показываем всё, что определяется, и не угадываем недостающие стороны

Что нужно решить?

Трапеция
Раздел «Геометрия и уравнения»
Какая трапеция и что известно?
Введите исходные данные

Основания a и b параллельны, причём a должно быть длиннее b. Все длины вводите в одной единице; площадь — в соответствующей квадратной единице.

Честная граница: у общей трапеции основания и высота не определяют наклон боковых сторон. Калькулятор покажет только m и S, не придумывая остальные параметры.

Мастер Удобника с указкой объясняет общую и равнобедренную трапецию
Ответ:Равнобедренная трапеция рассчитана
Средняя линия и площадьm = 5; S = 20h = 4; P = 20

Симметрия делит разность оснований пополам. Высота и половина разности становятся катетами.

Все однозначно найденные величины

a = 8b = 2h = 4m = 5cde
Положение боковых сторон восстановлено; показаны высота, средняя линия и диагональ. Схема может быть не в масштабе.
Основания a и b
8 и 2 ед.
Высота h
4 ед.
Средняя линия m
5 ед.
Площадь S
20 ед.²
Боковые стороны c и d
c = d = 5 ед.
Периметр P
20 ед.
Диагонали e и f
6,403124 и 6,403124 ед.
Углы
53,130102°, 53,130102°, 126,869898°, 126,869898°

В выбранном режиме положение боковых сторон восстановлено, поэтому доступны периметр, диагонали и углы.

Решение по действиям

1. Записываем вид и известные данные

Равнобедренная трапеция: основания и высотаa = 8, b = 2, h = 4

Симметрия делит разность оснований пополам. Высота и половина разности становятся катетами.

2. Проверяем достаточность данных

Находим половину разности оснований(a − b) ÷ 2 = (8 − 2) ÷ 2 = 3

В выбранном режиме положение боковых сторон восстановлено, поэтому доступны периметр, диагонали и углы.

3. Находим или подтверждаем высоту

h = 4 — дано

Высота всегда перпендикулярна обоим основаниям. Это не боковая сторона и не диагональ.

4. Находим среднюю линию

m = (a + b) ÷ 2 = (8 + 2) ÷ 2 = 5

Средняя линия соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований.

5. Находим площадь

S = m · h = 5 × 4 = 20

Площадь равна произведению средней линии на высоту. Поэтому ответ получает квадратную единицу.

6. Разбираем горизонтальные проекции

x = 3; y = (a − b) − x = 6 − 3 = 3

Проекции x и y показывают, как разность оснований распределилась слева и справа. У равнобедренной трапеции они равны.

7. Находим боковые стороны и периметр

c = √(h² + x²) = 5; d = √(h² + y²) = 5P = a + b + c + d = 8 + 2 + 5 + 5 = 20

Каждая боковая сторона вместе с высотой и своей проекцией образует прямоугольный треугольник.

8. Находим диагонали и углы

e = √((x + b)² + h²) = 6,403124; f = √((a − x)² + h²) = 6,403124α = atan2(h, x) = 53,130102°; β = atan2(h, y) = 53,130102°; верхние углы равны 180° − α и 180° − β

Эти величины выводятся только после восстановления положения малого основания. В неполном общем режиме они честно остаются неизвестными.

9. Проверяем ответ и размерность

2m = 2 × 5 = 10; a + b = 8 + 2 = 10S ÷ m = 20 ÷ 5 = 4 = hh² + x² = 4² + 3² = 25 = c²e² = 6,403124² ≈ 41; (x + b)² + h² = 41

a, b, h, m, c, d, диагонали и P — длины в одной единице; S — площадь в квадратных единицах; углы — в градусах.

Все доступные проверки сошлисьСредняя линия и площадь восстановили исходные основания и высоту; найденные стороны и диагонали проверены Пифагором.
Общий и равнобедренный случаи разделеныНеизвестные параметры не угадываются

Как рассчитать трапецию по известным данным

Обозначим большое основание a, малое основание b, высоту h, боковые стороны c и d, среднюю линию m, площадь S. Основания параллельны, а высота перпендикулярна обоим. Для любой трапеции всегда работают две главные формулы: m=(a+b)/2 и S=mh.

Как выбрать режим без лишних обещаний

ВидИзвестноЧто определяется
общаяa, b, hm и S; стороны, P, диагонали и углы неизвестны
общаяa, b, c, dh, m, S, P, диагонали и углы
равнобедреннаяa, b, hвсе основные элементы
равнобедреннаяa, b, ch и все основные элементы
равнобедреннаяa, b, Sh и все основные элементы
равнобедреннаяa, b, eh и все основные элементы

Средняя линия

m = (a + b) / 2

Она равна полусумме оснований и параллельна им.

Площадь

S = mh = (a + b)h / 2

Среднюю линию умножаем на перпендикулярную высоту.

Периметр

P = a + b + c + d

Формула доступна только когда обе боковые стороны определены.

Равнобедренный случай

x = (a − b) / 2

Разность оснований симметрично делится между двумя краями.

Почему основания и высота не задают общую трапецию полностью

Представьте малое основание как горизонтальную планку над большим. Её можно двигать влево и вправо, сохраняя обе длины и высоту. Средняя линия и площадь не изменятся, но боковые стороны наклонятся иначе. Значит, изменятся их длины, периметр, диагонали и углы. Калькулятор прямо пишет «не определяется», потому что единственного ответа нет.

Подробный пример равнобедренной трапеции

a = 8, b = 2, h = 4

  1. Разность оснований: a−b=8−2=6.
  2. Половина разности: x=6/2=3.
  3. Боковая сторона: c=d=√(h²+x²)=√(4²+3²)=√25=5.
  4. Средняя линия: m=(8+2)/2=10/2=5.
  5. Площадь: S=mh=5×4=20.
  6. Периметр: P=8+2+5+5=20.
  7. Проекция диагонали: (a+b)/2=(8+2)/2=5.
  8. Диагональ: e=f=√(5²+4²)=√41≈6,403124.
  9. Проверка площади: S/m=20/5=4=h.

Подробный пример общей трапеции по четырём сторонам

a = 18, b = 4, c = 13, d = 15

  1. Разность оснований: Δ=18−4=14.
  2. Левая проекция: x=(Δ²+c²−d²)/(2Δ)=(196+169−225)/28=140/28=5.
  3. Правая проекция: y=Δ−x=14−5=9.
  4. Высота: h=√(c²−x²)=√(169−25)=√144=12.
  5. Проверка правой стороны: √(h²+y²)=√(144+81)=√225=15.
  6. Средняя линия: m=(18+4)/2=11.
  7. Площадь: S=11×12=132.
  8. Периметр: P=18+4+13+15=50.
  9. Левая диагональ: √((x+b)²+h²)=√(9²+12²)=15.

Как восстановить высоту равнобедренной трапеции

Дополнительно известноПромежуточная величинаВысота
боковая сторона cx=(a−b)/2h=√(c²−x²)
площадь Sm=(a+b)/2h=S/m=2S/(a+b)
диагональ eq=(a+b)/2h=√(e²−q²)

Проверка существования

Для общей трапеции по четырём сторонам величины c, d и a−b должны образовать невырожденный треугольник: |c−d|<a−b<c+d. Для равнобедренной трапеции боковая сторона должна быть длиннее (a−b)/2, а диагональ — длиннее (a+b)/2. Равенство означало бы нулевую высоту и сплющенную фигуру.

Углы и диагонали

После нахождения проекций каждый край становится прямоугольным треугольником. Нижний угол слева можно получить как α=atan2(h,x), справа — β=atan2(h,y). Соседние углы при одной боковой стороне в сумме дают 180°. В равнобедренной трапеции x=y, поэтому нижние углы равны, верхние углы равны и обе диагонали равны.

Единицы и частые ошибки

Частые вопросы

Что такое трапеция?

Трапеция — четырёхугольник с двумя параллельными сторонами-основаниями. Непараллельные стороны называют боковыми.

Как найти среднюю линию трапеции?

Сложите длины двух оснований и разделите сумму на два: m=(a+b)/2. Средняя линия параллельна обоим основаниям.

Как найти площадь трапеции?

Умножьте полусумму оснований на высоту: S=(a+b)h/2. То же правило короче записывается S=mh.

Чем равнобедренная трапеция отличается от общей?

У равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Поэтому равны пары углов при каждом основании, диагонали равны, а разность оснований делится на две одинаковые проекции.

Почему по основаниям и высоте нельзя найти периметр общей трапеции?

Малое основание можно сдвигать влево или вправо, не меняя a, b и h. Наклон и длины боковых сторон изменятся, поэтому изменятся периметр, диагонали и углы.

Как найти высоту равнобедренной трапеции по боковой стороне?

Половина разности оснований x=(a−b)/2 вместе с высотой и боковой стороной c образует прямоугольный треугольник. Поэтому h=√(c²−x²).

Когда две боковые стороны общей трапеции невозможны?

Разность оснований и две боковые стороны должны образовать невырожденный треугольник: |c−d|<a−b<c+d. Равенство даёт нулевую высоту.

Какие единицы использовать?

Все основания, высоту, стороны, среднюю линию, диагонали и периметр вводите и читайте в одной линейной единице. Площадь получается в её квадрате.