Стандартный вид
a₁x + b₁y = c₁
Раскрываем скобки, собираем x и y слева, числа — справа. То же повторяем для второй строки.
Решатель систем линейных уравнений
Исключаем переменную, находим точную пару x и y и подставляем её в обе строки — без пропущенных действий
Инструменты геометрии и уравнений
Что нужно решить?
Система двух линейных уравнений
Ответ:x = 2; y = 1
2x + y = 5x − y = 1
- Определитель D
- −3
- Тип системы
- одна пара
- Исключаем
- переменную x
- Проверка
- классификация и строки согласованы
Решение по действиям
1. Переписываем систему
2x + y = 5x − y = 1
Обе строки должны выполняться одновременно. Искомый ответ — одна и та же пара чисел x и y для первого и второго уравнения.
2. Раскрываем скобки и переносим слагаемые
1-я строка: 2x + y = 52-я строка: x − y = 1
Слагаемые с x и y оставляем слева, обычные числа переносим вправо. Дробные коэффициенты приводим к целым без изменения множества решений.
3. Выписываем коэффициенты
abcСтрока 1215Строка 21−11
Для ax + by = c коэффициент a относится к x, b — к y, c — число справа. Знак является частью коэффициента.
4. Считаем определители и классифицируем систему
D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3Dₓ = 5 × (−1) − 1 × 1 = −6Dᵧ = 2 × 1 − 1 × 5 = −3
Главный определитель не равен нулю, поэтому прямые пересекаются в одной точке и система имеет одну пару решений.
5. Выбираем переменную для исключения
Исключаем xПервую строку умножаем на 1Вторую строку умножаем на −2
Множители выбраны так, чтобы коэффициенты при x стали противоположными. Умножаем на выбранное число всю строку — левую и правую части.
6. Умножаем обе строки целиком
2x + y = 5−2x + 2y = −2
Теперь коэффициенты при x взаимно уничтожатся при сложении. Остальные коэффициенты и числа справа тоже складываются.
7. Складываем строки
3y = 3y = 1
После сокращения одной переменной осталось обычное линейное уравнение. Делим обе части на её ненулевой коэффициент.
8. Находим вторую переменную подстановкой
2x + 1 × (1) = 5 → x = 2
Подставляем найденное число в одну из исходных приведённых строк и решаем оставшееся линейное уравнение.
9. Проверяем обе строки и записываем ответ
Строка 1: 2 × (2) + 1 × (1) = 5 = 5Строка 2: 1 × (2) + −1 × (1) = 1 = 1
x = 2; y = 1Одна и та же точная пара превратила обе строки в верные равенства.
Точная рациональная арифметикаПроверяем обе строки
Как решать систему двух линейных уравнений
Система требует, чтобы оба равенства выполнялись одновременно. Ответом при единственном решении служит упорядоченная пара (x; y), а не два независимых числа.
Метод сложения
строка 1 + строка 2
Делаем коэффициенты одной переменной противоположными и складываем все левые и правые части.
Подстановка
y найден → подставляем в строку
После первой переменной берём удобную строку и решаем одно линейное уравнение для второй.
Две проверки
aᵢx + bᵢy = cᵢ
Одна и та же пара должна дать верное равенство и в первой, и во второй строке.
Три возможных типа системы
| Определители | Геометрический смысл | Ответ |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Прямые пересекаются | Одна пара (x; y) |
| D = 0, Dₓ или Dᵧ ≠ 0 | Разные параллельные прямые | Решений нет |
| D = Dₓ = Dᵧ = 0 | Одна и та же прямая | Бесконечно много решений |
Подробный пример методом сложения
2x + y = 5 и x − y = 1
- Коэффициенты при y уже противоположны: +1 и −1.
- Складываем строки: (2x + x) + (y − y) = 5 + 1.
- Получаем 3x = 6, поэтому x = 2.
- Подставляем в первую строку: 2 · 2 + y = 5.
- Вычитаем 4: y = 1.
- Проверяем первую строку: 2 · 2 + 1 = 5.
- Проверяем вторую строку: 2 − 1 = 1.
Определители без магии
Для коэффициентов a₁, b₁, c₁ и a₂, b₂, c₂ считаем D = a₁b₂ − a₂b₁, Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁, Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁. При D ≠ 0 точные координаты равны x = Dₓ/D и y = Dᵧ/D. Определители здесь нужны не вместо понятного решения, а как независимая классификация.
Частые ошибки
- Умножили не всю строку: множитель относится к каждому слагаемому и правой части.
- Сложили только переменные: числа справа тоже складываются со своими знаками.
- Перепутали порядок: пара записывается именно (x; y).
- Проверили одну строку: случайная пара может подходить одному уравнению, но не системе.
- Рано округлили дробь: точная рациональная пара надёжнее десятичного приближения.
Поддерживаемая запись
- Латинские x/y и русские х/у.
- Десятичные коэффициенты через запятую или точку.
- Умножение 2x, 2*x, 2·x и скобки 3(x + y).
- Не поддерживаются x², y², xy, функции и деление на выражение с переменной.
Частые вопросы
Какие системы решает калькулятор?
Две линейные строки с двумя переменными x и y. После раскрытия скобок в них не должно быть x², y², xy или деления на выражение с переменной.
Что такое метод сложения?
Одну или обе строки умножают так, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными. Затем строки складывают, эта переменная сокращается.
Когда система имеет одну пару решений?
Когда главный определитель D не равен нулю. Геометрически две прямые пересекаются в одной точке (x; y).
Почему решений может не быть?
После исключения переменных может остаться ложное равенство вроде 0 = 1. Прямые параллельны и не имеют общей точки.
Что означает бесконечно много решений?
После преобразований обе строки описывают одну прямую. Каждая точка этой прямой подходит сразу обеим строкам.
Можно ли вводить десятичные числа?
Да. Поддерживаются запятая и точка, а расчёт внутри остаётся точным рациональным и не зависит от раннего округления.
Как проверяется ответ?
Найденные x и y подставляются отдельно в первую и вторую исходные приведённые строки. Обе должны дать точные равенства.