1. Стандартный вид
ax² + bx + c = 0
Все слагаемые переносим влево. Коэффициент a стоит при x², b — при x, c — число без x.
Решатель квадратных уравнений
Находим a, b и c, считаем дискриминант и проверяем каждый корень — все действия остаются перед глазами
Инструменты геометрии и уравнений
Что нужно решить?
Квадратное уравнение
Ответ:x₁ = 2; x₂ = 3
x² − 5x + 6 = 0
Десятичная проверка: x₁ ≈ 2; x₂ ≈ 3
- Коэффициенты
- a = 1; b = −5; c = 6
- Дискриминант
- D = 1
- Действительных корней
- 2
- Проверка
- подстановка и Виет сошлись
Решение по действиям
1. Записываем исходное уравнение
x² − 5x + 6 = 0
Квадратное уравнение должно после упрощения содержать ненулевой коэффициент при x². Сначала ничего не угадываем, а аккуратно приводим запись к стандартному виду.
2. Раскрываем скобки и собираем подобные
Слева: x² − 5x + 6Справа: 0
В каждой части отдельно складываем слагаемые с x², затем с x и затем обычные числа.
3. Переносим всё влево и убираем дробные коэффициенты
x² − 5x + 6 = 0x² − 5x + 6 = 0
Общий знаменатель коэффициентов: 1. После умножения на него сокращаем все три целых коэффициента на общий делитель 1. Корни от такого равносильного преобразования не меняются.
4. Называем коэффициенты a, b и c
a = 1b = −5c = 6
В записи ax² + bx + c = 0 число a стоит при x², b — при x, c — свободный член. Знак перед числом относится к коэффициенту.
5. Вычисляем дискриминант
D = b² − 4acD = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 1
Сначала возводим b в квадрат, затем отдельно считаем 4ac и вычитаем. Скобки вокруг отрицательного b обязательны.
6. Определяем число действительных корней
D = 1
Дискриминант больше нуля. Знаки «минус» и «плюс» в формуле дают два разных действительных корня.
7. Подставляем числа в формулу корней
x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)√D = 1x₁ = 2; x₂ = 3
Знак «−» даёт первую ветвь, знак «+» — вторую. Корень и дробь сокращаем точно; десятичное число используем только как пояснение.
8. Проверяем корни точной подстановкой
x₁ = 2: После точной подстановки числитель равен 0, поэтому P(x) = 0.x₂ = 3: После точной подстановки числитель равен 0, поэтому P(x) = 0.
Для корня с радикалом отдельно проверяются обычная часть и коэффициент при √D. Так округление не может случайно выдать ложное равенство.
9. Сверяем по теореме Виета и записываем ответ
x₁ + x₂ = 5; −b/a = 5x₁ · x₂ = 6; c/a = 6
x₁ = 2; x₂ = 3Подстановка каждого корня и обе формулы Виета согласованы.
Сохраняем точные радикалыПроверяем каждый корень
Как решать квадратное уравнение через дискриминант
Стандартный вид — ax² + bx + c = 0, причём a ≠ 0. Сначала приводим уравнение к этому виду, только потом подставляем коэффициенты в формулы.
2. Дискриминант
D = b² − 4ac
Отрицательный коэффициент b возводим в квадрат только в скобках. Произведение 4ac считаем отдельно.
3. Формула корней
x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
Формула применяется при D ≥ 0. Знак «минус» и знак «плюс» дают две ветви.
4. Двойная проверка
x₁ + x₂ = −b/a; x₁x₂ = c/a
Сначала подставляем каждый корень обратно, затем независимо сверяем сумму и произведение по Виету.
Сколько действительных корней получится
| Знак D | Что происходит | Ответ |
|---|---|---|
| D > 0 | √D существует и две ветви различаются | Два корня |
| D = 0 | ±0 дают одно и то же число | Один корень x = −b/(2a) |
| D < 0 | В действительных числах √D не существует | Действительных корней нет |
Подробный пример: x² − 5x + 6 = 0
- Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.
- Дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Корень дискриминанта: √D = √1 = 1.
- Первая ветвь: x₁ = (5 − 1) / 2 = 4 / 2 = 2.
- Вторая ветвь: x₂ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3.
- Подстановка: 2² − 5 · 2 + 6 = 0; 3² − 5 · 3 + 6 = 0.
- Виет: 2 + 3 = 5 = −b/a; 2 · 3 = 6 = c/a.
Если корень иррациональный
Для x² − 2 = 0 дискриминант равен 8, а √8 = 2√2. После сокращения получаем точные ответы x₁ = −√2 и x₂ = √2. Запись ±1,4142135624 помогает оценить числа, но для подстановки и дальнейшей алгебры надёжнее точная форма.
Частые ошибки
- Потерян знак b: в x² − 5x + 6 коэффициент b равен −5, а не 5.
- Нет скобок: нужно (−5)² = 25, а не −5².
- Забыли 2a: знаменатель формулы — всё произведение 2 · a.
- Рано округлили: сохраняйте √D и дробь до окончательного ответа.
- Не привели к нулю: коэффициенты называем только после переноса всех слагаемых в одну сторону.
Какие записи поддерживаются
- x² и x^2, латинская x и русская х.
- Десятичные коэффициенты через запятую или точку.
- Явное и неявное умножение: 2x², 2*x², (x − 1)(x + 2).
- Скобки, если после раскрытия степень не выше второй.
- Не поддерживаются деление на выражение с x, функции, корни во вводе и несколько переменных.
Частые вопросы
Что такое квадратное уравнение?
Это уравнение, которое после раскрытия скобок и переноса слагаемых можно записать как ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю.
Что показывает дискриминант?
Знак D = b² − 4ac заранее показывает число действительных корней: два при D > 0, один при D = 0 и ни одного при D < 0.
Почему минус у b берётся в скобки?
Если b отрицательное, в b² нужно возвести всё число вместе со знаком: (−5)² = 25. Без скобок запись −5² обычно читают как −25.
Почему ответ иногда содержит квадратный корень?
Если √D нельзя точно заменить целым числом, радикал сохраняет точный ответ. Десятичная запись рядом — только приближение.
Можно ли вводить x^2 вместо x²?
Да. Решатель понимает x² и x^2, латинскую x и русскую х, десятичную запятую, умножение и скобки.
Как проверяются найденные корни?
Каждый точный корень подставляется в ax² + bx + c. Дополнительно сверяются сумма x₁ + x₂ = −b/a и произведение x₁x₂ = c/a.
Что делать, если коэффициент a получился нулевым?
Тогда после упрощения уравнение стало линейным. Откройте отдельный решатель линейных уравнений — делить по квадратной формуле нельзя.