Удобник

Калькулятор прямоугольника

Находим стороны, периметр, площадь и диагональ по шести достаточным парам — каждое число появляется из показанного действия

Что нужно решить?

Прямоугольник
Раздел «Геометрия и уравнения»
Какие величины известны?
Введите два исходных значения

Длины вводите в одной единице: например, только в сантиметрах. Площадь вводится в соответствующих квадратных единицах: см², м² и так далее.

Важно: не любая пара чисел задаёт прямоугольник. Калькулятор проверит, можно ли получить две положительные стороны.

Мастер Удобника с указкой объясняет формулы прямоугольника
Ответ:Прямоугольник рассчитан
Стороны6 × 8P = 28; S = 48; d = 10

Длины двух соседних сторон полностью задают прямоугольник.

Все найденные величины

a = 6b = 8d = 1090°
Четыре угла равны 90°. Диагональ делит фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника. Схема учебная и может быть не в масштабе.
Сторона a
6 ед.
Сторона b
8 ед.
Периметр P
28 ед.
Площадь S
48 ед.²
Диагональ d
10= 10 ед.
Углы
90°, 90°, 90°, 90°

Решение по действиям

1. Записываем известные данные

Две соседние стороныa = 6, b = 8

Длины двух соседних сторон полностью задают прямоугольник.

2. Проверяем, что пары достаточно

Стороны уже известныa = 6; b = 8

Одной величины обычно недостаточно: прямоугольников с одной и той же площадью, стороной или диагональю может быть бесконечно много. Здесь известны две связанные величины.

3. Восстанавливаем первую сторону a

a = 6 — дано

Если порядок сторон можно поменять местами, большей стороне условно даём имя a. Периметр, площадь и диагональ от этого не изменятся.

4. Восстанавливаем вторую сторону b

b = 8 — дано

Обе стороны должны быть строго больше нуля. Нулевое или отрицательное значение означало бы, что прямоугольник не существует.

5. Находим периметр

P = 2(a + b) = 2 × (6 + 8) = 2 × 14 = 28

У прямоугольника две стороны длины a и две стороны длины b, поэтому сумма границы равна 2a + 2b = 2(a + b).

6. Находим площадь

S = a · b = 6 × 8 = 48

Умножаем длину на ширину. Так как перемножаются две длины, ответ записывается в квадратных единицах.

7. Находим диагональ по теореме Пифагора

d = √(a² + b²) = √(6² + 8²) = √100 = 10

Стороны a и b — катеты, диагональ d — гипотенуза. Корень оставляем в точной записи, если он не извлекается нацело.

8. Проверяем тремя обратными действиями

P ÷ 2 = 28 ÷ 2 = 14; a + b = 6 + 8 = 14S ÷ a = 48 ÷ 6 = 8 = bd² = 10² ≈ 100; a² + b² = 6² + 8² = 100

Сумма сторон подтверждается периметром, вторая сторона — площадью, а диагональ — равенством квадратов.

9. Делаем независимую проверку площади и единиц

(P² − 4d²) ÷ 8 = (28² − 4 × 10²) ÷ 8 ≈ 48 = S

a, b, d и P — длины в одной единице; S — площадь в квадратных единицах. Четыре внутренних угла равны 90°.

Все проверки сошлисьПрямоугольник рассчитан. Полученные стороны дают тот же периметр, площадь и диагональ.
Шесть достаточных парСуществование и размерность проверены

Как рассчитать прямоугольник без пропущенных действий

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы равны 90°. Противоположные стороны равны и параллельны. Соседние стороны обозначим a и b, периметр — P, площадь — S, диагональ — d. Сначала восстанавливаем a и b, а затем считаем остальные величины прямыми формулами.

Как выбрать одну из шести достаточных пар

ИзвестноКак восстановить стороныГлавное условие
a и bобе стороны уже даныa > 0, b > 0
a и Pb = P/2 − aP/2 > a
a и Sb = S/aa > 0, S > 0
d и ab = √(d² − a²)d > a
P и Sкорни x² − (P/2)x + S = 0(P/2)² − 4S ≥ 0
d и Pсумма P/2 и разность √(2d² − (P/2)²)d < P/2 ≤ √2d

Периметр

P = 2(a + b)

Складываем соседние стороны и удваиваем, потому что каждая повторяется два раза.

Площадь

S = a · b

Умножаем длину на ширину и получаем квадратную единицу.

Диагональ

d = √(a² + b²)

Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами-катетами.

Четыре угла

A = B = C = D = 90°

Сумма внутренних углов равна 360°: 4 × 90° = 360°.

Почему одной величины недостаточно

Площадь 48 может иметь прямоугольник 6 × 8, 4 × 12, 3 × 16 и множество вариантов с дробными сторонами. Один периметр или одна диагональ тоже не определяют единственную форму. Поэтому калькулятор не делает вид, будто угадывает: он просит одну из шести пар, которая действительно позволяет восстановить обе стороны.

Подробный пример: стороны 6 и 8

a = 6, b = 8

  1. Записываем стороны: a = 6, b = 8.
  2. Сумма соседних сторон: a + b = 6 + 8 = 14.
  3. Периметр: P = 2(a+b) = 2 × 14 = 28.
  4. Площадь: S = ab = 6 × 8 = 48.
  5. Квадрат диагонали: d² = a²+b² = 6²+8² = 36+64 = 100.
  6. Диагональ: d = √100 = 10.
  7. Проверка стороны: S/a = 48/6 = 8 = b.
  8. Проверка суммы: P/2 = 28/2 = 14 = 6+8.

Как получить стороны по периметру и площади

P = 28, S = 48

  1. Сумма сторон: a+b = P/2 = 28/2 = 14.
  2. Произведение сторон: ab = S = 48.
  3. Составляем уравнение: x²−14x+48=0.
  4. Дискриминант: D = 14²−4×48 = 196−192 = 4.
  5. Первый корень: x₁ = (14+√4)/2 = 16/2 = 8.
  6. Второй корень: x₂ = (14−√4)/2 = 12/2 = 6.
  7. Получаем стороны 8 и 6; их порядок не влияет на фигуру.
  8. Проверка: 2(8+6)=28 и 8×6=48.

Как получить стороны по диагонали и периметру

d = 10, P = 28

  1. Сумма сторон: a+b = P/2 = 14.
  2. Сумма квадратов: a²+b² = d² = 100.
  3. Квадрат разности: (a−b)² = 2(a²+b²)−(a+b)² = 2×100−14² = 4.
  4. Разность: |a−b| = √4 = 2.
  5. Большая сторона: a = (14+2)/2 = 8.
  6. Меньшая сторона: b = (14−2)/2 = 6.
  7. Проверка диагонали: √(8²+6²)=√100=10.

Когда введённой пары не существует

Для заданного периметра самую большую площадь имеет квадрат. Например, при P = 20 сторона квадрата равна 5, а максимальная площадь — 25. Поэтому прямоугольник с P = 20 и S = 30 невозможен. Диагональ всегда длиннее каждой стороны, а для пары d и P должна выполняться двойная граница: d < P/2 ≤ √2d.

Квадрат — особый прямоугольник

Если a = b, получаем квадрат. Он не перестаёт быть прямоугольником: все четыре угла по-прежнему равны 90°, а противоположные стороны параллельны. Просто к свойствам прямоугольника добавляется равенство всех четырёх сторон.

Единицы измерения и округление

Если стороны заданы в сантиметрах, то периметр и диагональ получаются в сантиметрах, а площадь — в см². При смене единицы пересчитайте все введённые длины. Не округляйте промежуточные корни: точное выражение вроде √13 лучше сохранить до последнего действия, а десятичное приближение подписать знаком ≈.

Частые ошибки

Частые вопросы

Что можно найти в калькуляторе прямоугольника?

Обе стороны a и b, периметр P, площадь S, диагональ d и четыре угла по 90°. Если фигура оказывается квадратом, калькулятор отдельно это отмечает.

Каких данных достаточно для расчёта?

Поддерживаются шесть пар: a+b, a+P, a+S, d+a, P+S и d+P. Каждая из них позволяет однозначно восстановить две стороны с точностью до их перестановки.

Как найти периметр прямоугольника?

Сложите соседние стороны и умножьте на два: P = 2(a+b). Множитель 2 нужен, потому что каждая длина встречается на границе два раза.

Как найти площадь прямоугольника?

Умножьте одну сторону на соседнюю: S = ab. Если стороны заданы в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах.

Как найти диагональ прямоугольника?

Диагональ образует со сторонами прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора d = √(a²+b²).

Как восстановить стороны по периметру и площади?

Сумма сторон равна P/2, а произведение равно S. Поэтому стороны — корни уравнения x²−(P/2)x+S=0. Если дискриминант отрицателен, такой прямоугольник не существует.

Почему некоторых пар чисел недостаточно?

Одна площадь, один периметр или одна диагональ подходят бесконечному числу прямоугольников. Недостаточны и зависимые пары вроде a и b, если фактически введена только одна из них. Нужны две независимые связанные величины.

Как не ошибиться с единицами измерения?

Все длины вводите в одной единице. Тогда a, b, d и P сохраняют эту единицу, а S получает её квадрат: см², м² и так далее.