УдобникВведите радиусы двух оснований и высоту. Удобник сразу покажет объём, образующую, боковую и полную площадь, а ниже разберёт каждое действие без пропусков.
Если известны больший радиус R, меньший радиус r и высота h, используйте:
Сначала найдите образующую l, потому что она нужна для боковой площади. Все длины перед подстановкой должны быть в одной единице.
Что нужно решить?
Представьте обычный прямой конус, у которого верхушку срезали параллельно основанию. Остались два круга: снизу больший радиус R, сверху меньший радиус r. Высота h измеряется между плоскостями оснований под прямым углом.
| Буква | Что обозначает | Размерность |
|---|---|---|
| R | радиус большего основания | длина |
| r | радиус меньшего основания | длина |
| h | перпендикулярная высота между основаниями | длина |
| l | образующая вдоль боковой поверхности | длина |
| S₁, S₂, Sб, S | два основания, боковая и полная площади | площадь |
| V | объём тела | объём |
Проведём осевое сечение. Край верхнего круга смещён к центру относительно края нижнего круга ровно на разность радиусов. Поэтому горизонтальный катет равен R−r, вертикальный — h, а наклонная сторона — l.
Сначала вычитаем радиусы, затем возводим разность и высоту в квадрат, складываем и извлекаем квадратный корень. Подставлять один радиус вместо R−r нельзя.
Каждое основание — отдельный круг. Возводим его радиус в квадрат и умножаем на π. Большее и меньшее основания нельзя объединить до вычисления.
Для боковой площади складываем радиусы и умножаем сумму на образующую. Полная площадь включает боковую поверхность и оба круга.
Внутри скобок три слагаемых: квадрат большого радиуса, произведение радиусов и квадрат малого радиуса. После сложения умножаем на высоту и π, а затем делим на 3.
Проверка образующей особенно простая: катеты 3 и 4 дают гипотенузу 5. В объёме сумма в скобках равна 39, затем 4×39÷3=52.
Мы выбрали сантиметры как общую единицу. Если оставить 200 мм и 0,4 м без перевода, арифметика смешает разные масштабы и ответ потеряет смысл.
Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета. Для R=5, r=2 и l=5 получаем h=√(25−9)=4. Образующая должна быть длиннее разности радиусов.
Корень даёт разность R−r. Поэтому после извлечения корня обязательно прибавляем меньший радиус. При r=2, h=4 и l=5 получаем R=2+3=5.
Умножаем объём на 3 и делим на весь оставшийся множитель. Если V=52π, R=5 и r=2, π сокращается: h=156π÷(39π)=4.
| Длина | Площадь | Объём |
|---|---|---|
| 1 см = 0,01 м | 1 см² = 0,0001 м² | 1 см³ = 0,000001 м³ |
| 1 мм = 0,001 м | 1 мм² = 0,000001 м² | 1 мм³ = 0,000000001 м³ |
| 1 км = 1000 м | 1 км² = 1 000 000 м² | 1 км³ = 1 000 000 000 м³ |
| 1 дм = 0,1 м | 1 дм² = 0,01 м² | 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³ |
Квадратные и кубические коэффициенты отличаются от линейных. Калькулятор считает с Decimal-точностью 50 знаков и округляет только готовые значения для экрана.
| Ошибка | Почему неверно | Как правильно |
|---|---|---|
| R и r перепутаны | R по определению больше | назначить R большему основанию |
| взяли R вместо R−r | осевой катет — только смещение краёв | сначала вычислить разность |
| h подставили вместо l | боковая поверхность наклонена | найти l по Пифагору |
| учли одно основание | у тела два круга | S=S₁+S₂+Sб |
Страница описывает идеальный прямой круговой усечённый конус с соосными параллельными основаниями. Она не рассчитывает толщину, внутреннюю полость, массу и инженерные допуски. Формулы объёма и площади сверены с OpenStax Contemporary Mathematics §10.7, правила квадратных и кубических единиц — с главой 4 руководства NIST по СИ.
Умножьте π и высоту h на сумму R²+Rr+r², затем разделите на 3: V=πh(R²+Rr+r²)/3. R — больший радиус, r — меньший.
В осевом сечении используйте теорему Пифагора: l=√(h²+(R−r)²). Второй катет равен разности радиусов, а не целому радиусу.
Сложите радиусы, умножьте сумму на образующую и π: Sб=π(R+r)l. Вертикальная высота h вместо l не подходит.
Сложите площади двух круглых оснований и боковую площадь: S=πR²+πr²+π(R+r)l.
Вычтите квадрат разности радиусов из квадрата образующей и извлеките корень: h=√(l²−(R−r)²).
Сначала найдите разность радиусов √(l²−h²), затем прибавьте меньший радиус: R=r+√(l²−h²).
Умножьте V на 3 и разделите на π(R²+Rr+r²): h=3V/(π(R²+Rr+r²)).
R обозначает радиус большего основания. При R=r тело превращается в цилиндр, а при R<r обозначения просто перепутаны.
Да. Например, R можно указать в сантиметрах, r в миллиметрах, а h в метрах. Калькулятор сначала приводит их к одной системе.
Объём усечённого конуса нельзя получить простым средним двух площадей. Геометрическая формула учитывает плавное изменение радиуса через сумму R²+Rr+r².
У него нет вершины и есть два параллельных круглых основания разных размеров. Поэтому нужны два радиуса и особые формулы площади и объёма.
Только как геометрическое приближение внешней формы, если основания круглые, соосные и параллельные. Толщина стенок и внутренний объём здесь не учитываются.
Нет. Калькулятор считает идеальный прямой круговой усечённый конус без наклона, отверстия, толщины, массы и производственных допусков.
