УдобникПоказываем Δx, Δy, квадрат расстояния, точный корень и координаты середины — с ясными скобками у отрицательных чисел
Что нужно решить?
Горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок AB — его гипотенузу.
Горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок AB — его гипотенузу.
Первая координата точки — x, вторая — y. Отрицательный знак относится к самому числу.
Всегда вычитаем координату A из соответствующей координаты B. Отрицательное вычитаемое берём в скобки.
После возведения в квадрат направление исчезает: и положительное, и отрицательное смещение дают неотрицательный вклад в длину.
Δx и Δy — катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора их квадраты складываются.
Длина не бывает отрицательной. Точная форма с корнем сохраняется, десятичная запись подписывается как приближение.
Середина находится ровно между x₁ и x₂, поэтому берём их среднее арифметическое.
Точно так же усредняем y₁ и y₂. Полученные координаты записываем одной точкой M.
Горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок AB — его гипотенузу. От A до M и от M до B координатные приращения одинаковы.
Координаты, Δx, Δy, d и координаты середины имеют одну линейную единицу; Δx², Δy² и d² — её квадрат. Знаки приращений показывают направление, но длина всегда неотрицательна.
Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Горизонтальное приращение равно Δx=x₂−x₁, вертикальное — Δy=y₂−y₁. Они становятся катетами прямоугольного треугольника, поэтому расстояние находится по Пифагору. Середина получается отдельным усреднением каждой пары координат.
Δx = x₂ − x₁
Знак показывает движение вправо или влево.
Δy = y₂ − y₁
Знак показывает движение вверх или вниз.
d = √(Δx² + Δy²)
Длина гипотенузы всегда неотрицательна.
M((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2)
Обе координаты усредняются отдельно.
В записи 4−(−2) первый минус — действие вычитания, второй — знак числа −2. Вычитание отрицательного заменяется сложением: 4−(−2)=4+2=6. Если убрать скобки и написать «4−−2», пример становится труднее читать и легко принять два знака за опечатку.
| Условие | Вид отрезка | Упрощение длины | Середина |
|---|---|---|---|
| y₁=y₂ | горизонтальный | d=|x₂−x₁| | ((x₁+x₂)/2; y₁) |
| x₁=x₂ | вертикальный | d=|y₂−y₁| | (x₁; (y₁+y₂)/2) |
| x₁=x₂ и y₁=y₂ | точки совпадают | d=0 | M=A=B |
| обе разности ненулевые | наклонный | d=√(Δx²+Δy²) | средние обеих координат |
Если поменять A и B местами, вместо Δx и Δy получатся −Δx и −Δy. После возведения в квадрат знаки исчезнут: (−Δx)²=Δx². Поэтому d не изменится. Суммы x₁+x₂ и y₁+y₂ тоже не зависят от порядка, значит середина останется той же.
От A до M приращения должны быть (Δx/2;Δy/2). От M до B — точно такие же. Ещё две проверки: 2Mₓ=x₁+x₂ и 2Mᵧ=y₁+y₂. Если хотя бы одно равенство не выполняется, при сложении координат или делении на два допущена ошибка.
Корень √52 сокращается до 2√13, потому что 52=4×13 и √4=2. Это точный ответ. Запись 7,211103 удобна для измерений, но округлена до шести знаков. В обратных проверках калькулятор использует не экранное округление, а полное вычисленное значение.
Вычтите соответствующие координаты, возведите оба приращения в квадрат, сложите и извлеките квадратный корень: d=√((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²).
Отдельно усредните x-координаты и y-координаты: M((x₁+x₂)/2;(y₁+y₂)/2).
Так видно две разные операции: знак самого числа и вычитание. Например, 4−(−2)=4+2=6.
Δx=0, Δy=0 и d=0. Середина имеет те же координаты. Это корректный нулевой отрезок.
Знаки Δx и Δy поменяются, но их квадраты, расстояние и координаты середины останутся прежними.
Если y₁=y₂, отрезок горизонтальный и d=|Δx|. Если x₁=x₂, он вертикальный и d=|Δy|.
Горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а отрезок между точками — гипотенузу.
Точная форма, например 2√13, не содержит ошибки округления. Десятичное значение удобно для измерений, но является приближением.
Все координаты задавайте в одной линейной единице. Расстояние и координаты середины будут в ней же, а d² — в квадрате этой единицы.