Как найти объём и площадь усечённой четырёхугольной пирамиды?

Введите стороны нижнего и верхнего квадратов и высоту. Удобник найдёт апофему, боковое ребро, площадь четырёх трапеций и объём, а затем объяснит, откуда взялось каждое число.

Короткий ответ

Если известны большая нижняя сторона a, меньшая верхняя сторона b и высота h, используйте:

V = h(a²+ab+b²) ÷ 3l = √(h²+((a−b)/2)²)S = a²+b²+2(a+b)l

Сначала проверьте порядок a>b>0. Затем найдите апофему l: именно она является высотой каждой боковой трапеции.

Что нужно решить?

Усечённая четырёхугольная пирамида

Раздел «Геометрия и уравнения»

Что нужно найти?

Нижняя сторона aбольший квадратВерхняя сторона bменьший квадратВысота hмежду центрами основанийАпофема lвычислим по ПифагоруВычислим после размеров

ОбъёмПлощади

Знаков после запятой

Считаем прямую правильную усечённую пирамиду: два квадрата параллельны, имеют общий центр, а нижняя сторона a строго больше верхней b.

Мастер Удобника с указкой объясняет расчёт усечённой квадратной пирамиды

Правильная усечённая квадратная пирамида · Объём и площади по двум основаниям и высоте

Объём V:208 м³

a=10 м, b=4 м, h=4 м → l=5 м, S=256 м², V=208 м³

a всегда обозначает большую нижнюю сторону, b — меньшую верхнюю. Промежуточные действия не округляются.

Схема обозначений, не чертёж в масштабе. a — большая нижняя сторона, b — меньшая верхняя; апофема l проходит по середине боковой грани.

Величина	Точно	Приближённо	Статус
Нижняя сторона a	10 м	10 м	дано
Верхняя сторона b	4 м	4 м	дано
Высота h	4 м	4 м	дано
Апофема l	5 м	5 м	вычислено
Боковое ребро e	√(h²+(a−b)²/2) ≈ 5,8309518948453 м	5,830952 м	вычислено
Нижнее основание S₁	100 м²	100 м²	вычислено
Верхнее основание S₂	16 м²	16 м²	вычислено
Боковая площадь Sб	140 м²	140 м²	вычислено
Полная площадь S	256 м²	256 м²	вычислено
Объём V	208 м³	208 м³	вычислено

Решение по действиям

1. Записываем условие и проверяем основания

Объём и площади по двум основаниям и высоте. После восстановления неизвестной калькулятор последовательно считает все десять характеристик.Требуется a>b>0: нижний квадрат больше верхнего, а их центры лежат на одной высоте h.

2. Находим горизонтальный сдвиг одной грани

d = (a−b)÷2Для примера d = (10−4)÷2

Разность сторон распределяется поровну по двум краям. Поэтому в сечении от высоты до апофемы лежит не вся разность a−b, а её половина.

3. Выбираем формулу для неизвестной

l²=h²+((a−b)/2)²; e²=h²+(a−b)²/2; S₁=a²; S₂=b²; Sб=2(a+b)l; S=S₁+S₂+Sб; V=h(a²+ab+b²)/3l = √(h²+((a−b)/2)²)

Объём квадратной усечённой пирамиды зависит от высоты и трёх площадных слагаемых a², ab и b².

4. Приводим известные величины к СИ

10 м = 10 м4 м = 4 м4 м = 4 мПлощади и объём вычисляем в СИ, затем переводим в выбранные единицы.

Сначала переводим все линейные размеры в метры. Для площадей коэффициент длины возводится в квадрат, для объёма — в куб.

5. Восстанавливаем искомую сторону или высоту

l = √(h²+((a−b)/2)²)l = √(4²+((10−4)÷2)²) = 5 м

В режиме по апофеме используем прямоугольный треугольник. В режиме по объёму решаем равенство V=h(a²+ab+b²)/3 относительно одной неизвестной.

6. Считаем апофему, ребро и четыре трапеции

a=10 м; b=4 м; h=4 м; l=5 м; e=5,8309518948453 м; S₁=100 м²; S₂=16 м²; Sб=140 м²; S=256 м²; V=208 м³S одной грани = (a+b)l÷2 = 35 м²Sб = 4×35 м² = 140 м²

Каждая боковая грань — равнобедренная трапеция с параллельными сторонами a и b и высотой l. Четыре одинаковые грани дают боковую поверхность.

7. Складываем поверхность и находим объём

S = a²+b²+2(a+b)l = 256 м²V = h(a²+ab+b²)÷3 = 208 м³208 м³ = 208 м³

В объёме нельзя заменить среднее слагаемое ab на a² или b²: оно учитывает плавное изменение квадратного сечения между основаниями.

8. Проверяем ответ пятью способами

l²: 25=16+9; e²: 34=16+18Коэффициенты 1/2, 1/3, 2 и 4 безразмерны; длины дают м, произведение двух длин — м², площади на высоту — м³

Все пять проверок сошлисьАпофема: 16 + 9 = 25 м²Боковое ребро: 16 + 18 = 34 м²Площадь: 100 + 16 + 140 = 256 м²Объём: 4 × (100 + 40 + 16) ÷ 3 = 208 м³Размерности: длины дают м, произведение двух длин — м², площади на высоту — м³

8 действий без пропусковДесять величин в одной таблицеПять независимых проверок

Как рассчитать усечённую квадратную пирамиду без пропущенных действий

Представьте правильную квадратную пирамиду, у которой верхушку срезали плоскостью, параллельной основанию. Остались два параллельных квадрата и четыре одинаковые трапеции. Все формулы ниже работают именно для такой прямой и симметричной фигуры.

1. Что дано и как назвать основания

Буква	Что обозначает	Условие
a	сторона нижнего квадрата	a>b
b	сторона верхнего квадрата	b>0
h	перпендикуляр между центрами оснований	h>0
l	апофема, высота боковой трапеции	l>h
e	боковое ребро между соответствующими вершинами	e>l
S₁, S₂, Sб, S	нижнее, верхнее, боковая и полная площади	квадратные единицы
V	объём	кубические единицы

Если фигура стоит меньшим квадратом вниз, мысленно переверните её и всё равно назовите большую сторону a. Формулы симметричны относительно положения в пространстве, но интерфейсу нужен один понятный порядок.

2. Откуда берётся половина разности сторон

d = (a−b)÷2

Верхний квадрат расположен точно по центру нижнего. Разность a−b состоит из двух одинаковых краёв: один выступает слева, второй справа. Поэтому горизонтальный катет в центральном сечении равен d=(a−b)/2, а не всей разности.

3. Как найти апофему

l² = h²+d²l = √(h²+((a−b)/2)²)

Проведём сечение через центры параллельных сторон двух квадратов. Высота h и отрезок d перпендикулярны, а апофема l лежит на боковой грани. Это прямоугольный треугольник, поэтому применяется теорема Пифагора.

4. Как найти боковое ребро

e² = h²+2d² = h²+(a−b)²/2

Ребро идёт не к середине стороны, а к вершине квадрата. Горизонтальное смещение происходит сразу по двум взаимно перпендикулярным направлениям, каждое длиной d. Их квадраты складываются: d²+d²=2d².

5. Площади двух оснований

S₁ = a²S₂ = b²

Оба основания — квадраты. Для нижнего умножаем a на a, для верхнего — b на b. Эти площади нельзя усреднять: в полной поверхности присутствуют оба квадрата целиком.

6. Площадь одной грани и всей боковой поверхности

S грани = (a+b)l÷2Sб = 4×(a+b)l÷2 = 2(a+b)l

Одна боковая грань — трапеция. Её параллельные стороны равны a и b, а расстояние между ними по плоскости грани равно апофеме l. Умножаем полусумму оснований трапеции на l, затем умножаем на четыре грани.

7. Полная площадь поверхности

S = a²+b²+2(a+b)l

Полная поверхность состоит из нижнего квадрата, верхнего квадрата и четырёх трапеций. Если нужна площадь материала для закрытой модели, учитываются все три части. Для открытого сверху или снизу изделия соответствующее основание надо вычесть отдельно.

8. Почему объём содержит три слагаемых

V = h(a²+ab+b²)÷3

Площадь поперечного квадратного сечения плавно меняется от a² до b². Среднее слагаемое ab связывает два размера и не даёт заменить фигуру простой призмой. Проверка крайними случаями помогает запомнить формулу: если a=b, получаем V=ha²; если b стремится к нулю, остаётся объём обычной пирамиды ha²/3.

9. Полный пример: a=10 м, b=4 м, h=4 м

d = (10−4)÷2 = 3 мl = √(4²+3²) = 5 мe = √(4²+6²÷2) = √34 ≈ 5,830952 мS₁ = 10² = 100 м²; S₂ = 4² = 16 м²S одной грани = (10+4)×5÷2 = 35 м²Sб = 4×35 = 140 м²; S = 100+16+140 = 256 м²V = 4×(100+40+16)÷3 = 208 м³

Внутри скобок объёма стоят три отдельных числа: 100, 40 и 16. Их сумма равна 156; умножаем на высоту 4 и только затем делим на 3.

10. Как восстановить высоту или сторону по апофеме

h = √(l²−((a−b)/2)²)a = b+2√(l²−h²)b = a−2√(l²−h²)

Все три равенства получаются из одного прямоугольного треугольника. Для стороны сначала вычисляется половина разности √(l²−h²), затем она удваивается. В формуле для b после вычитания обязательно должно остаться положительное число.

11. Как восстановить высоту или сторону по объёму

h = 3V÷(a²+ab+b²)Q = 3V÷ha = (−b+√(4Q−3b²))÷2b = (−a+√(4Q−3a²))÷2

Высота освобождается обычным делением. При поиске стороны возникает квадратное уравнение. У него может быть формальный корень, который нарушает a>b>0; калькулятор не показывает такую фигуру как допустимую и объясняет, какое условие не выполнено.

12. Разные единицы и округление

Длина	Площадь	Объём
1 см = 0,01 м	1 см² = 0,0001 м²	1 см³ = 0,000001 м³
1 мм = 0,001 м	1 мм² = 0,000001 м²	1 мм³ = 0,000000001 м³
1 км = 1000 м	1 км² = 1 000 000 м²	1 км³ = 1 000 000 000 м³
1 дм = 0,1 м	1 дм² = 0,01 м²	1 л = 1 дм³ = 0,001 м³

Калькулятор переводит каждую введённую длину отдельно и ведёт вычисление с Decimal-точностью 50 знаков. Выбранное число знаков применяется только к экранной записи; найденное значение не подставляется обратно в промежуточные формулы.

13. Типичные ошибки, границы модели и источники

Ошибка	Что сломалось	Как исправить
перепутали a и b	нарушено a>b	большую сторону назвать a
взяли a−b вместо (a−b)/2	апофема получилась завышенной	разделить выступ между двумя краями
использовали h вместо l в площади	h не лежит в плоскости трапеции	сначала найти апофему
забыли слагаемое ab	объём перестал учитывать оба основания	использовать a²+ab+b²
основания не квадратные или смещены	симметрия модели исчезла	выбрать другой геометрический расчёт

Страница описывает идеальную прямую правильную усечённую пирамиду с параллельными соосными квадратами. Она не рассчитывает наклон, поворот оснований, толщину, массу и инженерные допуски. Условие модели и точная формула объёма сверены с главой Санжоя Махаджана The Volume of a Truncated Pyramid, опубликованной MIT OpenCourseWare и Mathematics LibreTexts. Коэффициенты квадратных и кубических единиц сверены с главой 4 руководства NIST по СИ.

Частые вопросы

Как найти объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды?

Обозначьте большую нижнюю сторону через a, меньшую верхнюю через b, высоту через h. Подставьте их в V=h(a²+ab+b²)/3.

Как найти апофему усечённой квадратной пирамиды?

Сначала найдите половину разности сторон d=(a−b)/2. Затем примените теорему Пифагора: l=√(h²+d²).

Почему в формуле апофемы стоит половина разности сторон?

Верхний квадрат расположен по центру нижнего. Поэтому лишняя длина a−b делится поровну между двумя противоположными краями: на каждый край приходится (a−b)/2.

Как найти боковое ребро?

Для ребра нужен диагональный сдвиг между соответствующими вершинами. Его квадрат равен (a−b)²/2, поэтому e=√(h²+(a−b)²/2).

Как найти боковую площадь?

Одна грань — трапеция площадью (a+b)l/2. Таких граней четыре, поэтому Sб=4·(a+b)l/2=2(a+b)l.

Как найти полную площадь поверхности?

Сложите площади двух квадратов и четырёх боковых трапеций: S=a²+b²+2(a+b)l.

Как найти высоту по апофеме?

Вычтите квадрат половины разности сторон из квадрата апофемы и извлеките корень: h=√(l²−((a−b)/2)²).

Как найти нижнюю сторону по верхней стороне, высоте и апофеме?

Найдите √(l²−h²), удвойте результат и прибавьте верхнюю сторону: a=b+2√(l²−h²).

Как найти верхнюю сторону по нижней стороне, высоте и апофеме?

Найдите √(l²−h²), удвойте результат и вычтите его из нижней стороны: b=a−2√(l²−h²). Ответ должен остаться положительным.

Как найти высоту по объёму?

Умножьте объём на 3 и разделите на a²+ab+b²: h=3V/(a²+ab+b²).

Можно ли найти сторону основания по объёму?

Да, если известны другая сторона и высота. Получается квадратное уравнение; калькулятор выбирает единственный положительный корень, при котором a>b>0.

Можно ли вводить размеры в разных единицах?

Да. Например, a можно ввести в сантиметрах, b в миллиметрах, h в метрах. Перед вычислением калькулятор точно переводит длины в СИ.

Подходит ли расчёт для наклонной или прямоугольной усечённой пирамиды?

Нет. Здесь оба основания — квадраты, их центры лежат на одном перпендикуляре, а соответствующие стороны параллельны. Для наклонной или прямоугольной модели нужны другие формулы.